Fonction coordonnées polaires

la formule de la moyenne pour les fonctions harmonique ?

certains des termes disparaissent en les écrivant comme dérivées par rapport à $\theta$ et d'autres en utilisant que le laplacien et nul

Bonjour,

Montre ou justifie d’abord que $\int_\Omega \Delta f dS=\oint_{\partial \Omega} \vec{grad} f. d\vec{\ell}$ avec $\Omega$ une surface du plan, $f$ une fonction $C^2$ sur $\Omega$, $\partial \Omega$ le bord de la surface, et $d\ell$ un élément infinitésimal de longueur le long du bord et dont le vecteur est orienté vers l’extérieur de la surface.
Pour une fonction harmonique $f$ on a $\Delta f=0.$
Montre que $d\vec{\ell}=r d\theta \vec{u_r}$ pour le cercle de rayon $r>0$ centré à l’origine.
Montre ou justifie que $\vec{grad} f={\partial f\over \partial r} \vec{u_r} +{1\over r}{\partial f\over \partial \theta}\vec{u_\theta}$ en coordonnées polaires.
Conclure.

Je recommande vivement de ne pas écrire $f(r \cos \theta, r \sin \theta)$ mais $g(r, \theta)$ lorsqu’on passe des coordonnées cartésiennes $f(x,y)$ aux polaires : $f(x,y)=g(r, \theta)$.

$ \int_0^{2\pi} \frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2}(r,\theta)d\theta = \frac{\partial h}{\partial \theta}(r,2\pi)-\frac{\partial h}{\partial \theta}(r,0) = 0$.


donc tu as déjà montré que $g'(r) = cst$.

(si je suppose que tu as fait une erreur et que tu obtiens que $r g'(r)$ est constante alors cette constante est forcément $0$ parce que sinon ça divergerait quand $r \to 0$)

Bonjour,

@part : tes calculs sont faux. D'ailleurs tu ne les écris pas et il est difficile de te corriger.

On définit : $\displaystyle g(r) = \int_{0}^{2 \pi} h(r, \theta) d\theta$ avec $h$ une fonction harmonique. On en déduit que l'intégrale existe et que $g$ est deux fois dérivables. On calcule : $\displaystyle g'(r) = \int_{0}^{2 \pi} {\partial h(r, \theta) \over \partial r} d\theta$, puis $\displaystyle g''(r) = \int_{0}^{2 \pi} {\partial^2 h(r, \theta) \over \partial r^2} d\theta$, n'est-ce pas ? Comme $h$ est harmonique, alors en coordonnées polaires $\displaystyle \Delta h = {\partial^2 h \over \partial r^2} + {1 \over r}{\partial h \over \partial r} +{1 \over r^2}{\partial^2 h \over \partial \theta^2}=0, r>0.$ On a donc établi que $\displaystyle g''(r) = -{1 \over r} g'(r) - {1 \over r^2} ({\partial h \over \partial \theta}(r, 2\pi) -{\partial h \over \partial \theta}(r, 0) ), r>0$ et donc $\displaystyle r g''(r) + g'(r) = 0, r>0$ qui s'intègre facilement en $\displaystyle g'(r) = {c \over r}, r>0$ : comme $g$ est dérivable sur le disque, en particulier en $\displaystyle (0,0)$, et donc en $\displaystyle r=0$ par continuité, alors $\displaystyle c=0$ et donc $g$ est constante.