$f(x_n)$ convergente et $f$ continue

Bonjour
$f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, il existe une suite $(x_n)$ de $[a,b]$ telle que $(f(x_n))_n$ converge vers une limite $L$. A-t-on que $(x_n)$ converge (même si $f$ n’est pas injective?)?
J’ai fait ceci : $(x_n)$ admet au moins une valeur d’adhérence par BW. Supposons qu’il en existe deux distinctes $l$ et $l’$.
Par unicité de la limite de $(f(x_n))_n$, on a $f(l)=f(l’)=L$. Donc si $f$ est injective, $(x_n)$ a une unique valeur d’adhérence et $(x_n)$ est dans le compact $[a,b]$, donc elle converge. Mais si $f$ n’est pas injective?merci