Exercice sur les suites

Il faudrait aussi dire a quel niveau tu es.
tu connais les sous-suites au moins ?

Pas vraiment...

Ecris la négation de la convergence vers 0 et envisage.

D'où vient l'exercice?
Et pour ta négation, c'est presque ça

Remarque : J'ai édité un passage pour que cela soit plus clair... La suite $\varepsilon$ n'est pas quelconque!... mauvaise quantification de ma part dans le précédent post! :)o

Ce type d'exercice est toujours fondé sur la méthode suivante (appelée variation de la constante), résoudre le cas d'égalité au sens suivant... On s'intéresse à déterminer les suites $w$ telles que $w_{0}=u_{0}$ et $\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}, \mbox{ } w_{n+1}-\frac{w_{n}}{K}=\frac{\varepsilon_{n}}{K}$ où $\displaystyle \forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } \varepsilon_{n}=u_{n+1}-\frac{u_{n}}{K}\leq \frac{v_{n}}{K}.$

La suite $u$ donnée par l'énoncé est une solution de cette récurrence. Déterminons alors la forme des solutions de cette récurrence...
Soit $n\in \mathbb{N}.$ En multipliant la relation par $K^{n+1},$ on obtient $$K^{n+1}w_{n+1}-K^{n}w_{n}=K^{n}\varepsilon_{n}.$$
En sommant ces relations et en observant un télescopage, il vient $$\forall N\in\mathbb{N}, \mbox{ } K^{N+1}w_{N+1}=u_{0}+\sum_{l=0}^{N}K^{l}\varepsilon_{l}.$$
Ainsi, on obtient $$\forall N\in\mathbb{N}, \mbox{ } u_{N}\leq \frac{u_{0}}{K^{N}}+\frac{1}{K^{N}}\sum_{l=0}^{N-1}K^{l}v_{l}.$$
Notons que comme $K>1$, en appliquant la sommation des relations de comparaison (ou une variante de Cesàro), il vient par le théorème des gendarmes $\displaystyle \lim_{N\rightarrow +\infty} u_{N}=0.$

Il ne reste plus qu'à montrer Cesàro (ou le "Cesàro" modifié de l'énoncé!)... Bon exercice de MPSI sur les suites!

Bonsoir,
Sinon on peut procéder comme ça:
1-Si $(u_n)$ ne décroît pas à partir d’un certain rang.
Soit $N \in \mathbb{N}^*$ et $n \geq N$ tel que :
$\frac{u_n +v_n}{K} \geq u_{n+1} > u_n$, de sorte que $u_n < \frac{v_n}{K-1}$(grâce à $K>1$). On fait tendre $N$ vers $+\infty$, alors $n\to +\infty$ et $(u_n)$ étant positive et $(v_n)$ tendant vers $0$, on a que $(u_n)$ tend vers $0$ par le théorème des gendarmes.
Edit: J’ai montré que $0$ est une valeur d’adhérence. C’est en fait la seule qui soit finie. En effet, l’inégalité $0\leq u_{n+1} \leq \frac{u_n +v_n}{K}$ donne alors par passage à la limite que $l(K-1) \leq 0$ ce qui n’est possible que si $l=0$ puisque $K>1$.
Maintenant si $\lim \sup u_n=+\infty$ alors $(u_n)$ admet une sous-suite croissante qui tend vers $+\infty$. On peut alors supposer qu’on a encore $\frac{u_n +v_n}{K} \geq u_{n+1} > u_n$ de telle sorte que $u_n < \frac{v_n}{K-1}$, qui donne une contradiction en faisant tendre $n$ vers $+\infty$.
2- Si $(u_n)$ décroît à partir d’un certain rang:
Elle est alors convergente puisque minorée par $0$. Notons $l$ sa limite.
L’inégalité $0\leq u_{n+1} \leq \frac{u_n +v_n}{K}$ donne alors par passage à la limite que $l(K-1) \leq 0$ ce qui n’est possible que si $l=0$ puisque $K>1$.