Liminf qui s'annule

Playa
Playa
dans Analyse
Bonsoir,

Soient $f : X \rightarrow \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ et $x_0$ tel que $f(x_0) \in \mathbb{R}$.
A-t-on : $$ \liminf_{t \to 0+,\, v \to 0} \frac{f(x_0 + t v)-f(x_0)}{t}=0 \quad?

$$ Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Non. Par exemple si $f(x)=+\infty$ pour tout $x \neq x_0$.
  • Playa
    Playa
    @Poirot : Merci beaucoup.

    Si $f$ est supposée différentiable en $x_0$, a-t-on :

    $$ \liminf_{t \to 0+,\, v \to d} \frac{f(x_0 + t v)-f(x_0)}{t}=D_{x_0}f(d) \quad?
    $$
    (où $D_{x_0}f$ est la différentielle de $f$ en $x_0$)

    Merci.
  • Poirot
    Poirot
    On a $$\frac{f(x_0 + t v)-f(x_0)}{t} = D_{x_0}f(v) + ||v||\varepsilon(tv)$$ où $\varepsilon(t)$ tend vers $0$ quand $tv$ tend vers $0$. L'application $D_{x_0}f$ est linéaire donc continue (j'imagine que tu travailles en dimension finie) et le terme $||v||\varepsilon(tv)$ converge vers $0$ quand $(t,v)$ converge vers $(0, d)$ puisque $||v||$ reste borné et $tv$ converge vers $0$ dans ces conditions. La réponse est donc oui et il s'agit même d'une limite et pas seulement d'une limite inférieure.
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