Intuition variation quadratique

Une façon de le voir est la suivante. Si $f: [0,T] \to \R$ est une fonction lisse la longueur du chemin correspondant est $$

\ell = \int_0^T |f'(t)|\,dt = \lim_{\Delta \to 0} \sum_k |f'(t_k)| (t_{k+1}-t_k) = \lim_{\Delta \to 0} \sum_k \left|\frac{f(t_{k+1}-f(t_k))}{t_{k+1}-t_k}\right| (t_{k+1}-t_k) = \lim_{\Delta \to 0} \sum_k | f(t_{k+1}) - f(t_k) |

$$ Mais la convergence utilise de façon essentielle la dérivabilité de $f$, alors que les trajectoires du mouvement brownien ne sont pas dérivables. En revanche, elles sont p.s. $\alpha$-Holder pour $\alpha < 1/2$ Entre $t$ et $t+dt$, l'accroissement de $B$ est d'ordre $\sqrt{t}$ donc la somme ci-dessus va être p.s. infinie. Mais on peut considérer la $p$-variation totale : $$

V_p(f) = \lim_{\Delta \to 0} \sum_k | f(t_{k+1}) - f(t_k) |^p

$$ Pour $p = 2$ (inverse de l'exposant de Hölder), la variation quadratique du mouvement brownien converge vers une limite non triviale.

Après en pratique, ça s'utilise surtout comme mesure de la variance $\mathrm{Var}(B_T) = T$ ou plus généralement comme compensateur: $B^2 - \langle B,B\rangle$ est une martingale.

Bonjour afk,

Merci pour l'intervention sur ce fil, mais j'ai une question à ce propos:

Dans la réponse il est question que l'accroissement de $\boldsymbol{B}$ entre $\mathrm{t}$ et $\mathrm{t}$+$\mathrm{dt}$ est de l'ordre $\sqrt{t}$. N'est-ce pas plutôt de l'ordre $\sqrt{\mathrm{dt}}$?

Il me semble que cela est contraire à la stationnarité de la loi du mouvement Brownien.

Merci de m'éclairer.

Merci!