Nature d'une série

algebras
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dans Analyse
Salut. Quelle est la nature de cette série numérique:
$$\sum_{k} (-1)^{k}\bigg(\tan{\dfrac{1}{\sqrt{k}}}-\sin{\dfrac{1}{\sqrt{k}}}\bigg)$$

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Un petit DL et le critère des séries alternées.

    Cordialement,

    Rescassol
  • algebras
    algebras
    On sait que $\tan{x}-\sin{x}=\dfrac{2x^{3}}{3}+o(x^{3})$ donc la série est équivalent à $\sum_{k}(-1)^{k}\dfrac{1}{k^{3/2}}$ qui est alternée et $\dfrac{1}{k^{3/2}}$ décroit et tend vers 0. Est ce que c'est juste??
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Non c’est faux tant que tu ne démontres pas que c’est vrai (phrase débile mais dont on comprend le sens). D’où sort cette équivalence ?
  • algebras
    algebras
    Le problème entre parenthèse est-ce qu'il est à termes positifs??
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Puisqu’il est équivalent à $2/3 k^{-3/2}$ il est positif pour $k$ assez grand, non ?
    Pourquoi ne pas établir la convergence absolue par majoration ? Au lieu du DL avec o, un DL avec O devrait suffire pour démontrer le truc proprement.
  • Archimède
    Archimède
    La suite $u_k=\tan{\dfrac{1}{\sqrt{k}}}-\sin{\dfrac{1}{\sqrt{k}}}$ est décroissante et tend vers 0. On peut donc appliquer directement le théorème des séries alternées.
  • algebras
    algebras
    @Archimède pourquoi elle est décroissante??
  • zorg69
    zorg69
    algébras, on ne somme en genéréal des equivalents même positifs!
  • zorg69
    zorg69
    Erratum: je suis allé un peu trop vite ( confusion avec les fonctions) si $u_n$ et $v_n$ sont positifs et équivalents, alors leurs séries sont de même nature , ce qui ne signifie pas pour autant que ces séries soient équivalentes!
  • Archimède
    Archimède
    Réponse à algebras http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1722812,1722916#msg-1722916
    La suite $(u_k)$ est décroissante car la fonction $f(x)=\tan x - \sin x$ est croissante puisque $f'(x)\geq 0$.

    [Archimède, quand tu veux le lien vers un message, mets la souris sur le titre du message, pas sur l'auteur juste au dessus. ;-) AD]
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