Sous-espaces propres

Jota
Jota
dans Algèbre
Salut, je n'ai pas pu résoudre l'exercice suivant.

Soit $P\in \mathbb{K}[X]$, $u\in L(E)$.
1) Montrer que si $\lambda \in \mathrm{Spec}(u)$, alors $P(\lambda )\in \mathrm{Spec}(P(u))$.
2) On suppose $\dim(E)=n$, fini. Comparer $\chi _{u}(x)$ et $\chi _{P(u)}(x)$.
3) Soit $\begin{array}[t]{cccl}
\delta :& C^{\infty }(\mathbb{R} )&\longrightarrow& C^{\infty }(\mathbb{R} )\\
& f& \longmapsto& \delta f:=f'
\end{array}$
Calculer $\mathrm{Spec}(\delta )$ et les sous-espaces propres.

Merci d'avance.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Qu'as-tu fait ? Où bloques-tu ?

    Pour la question 1, peux-tu rappeler ce qu'est un élément $\lambda$ de $\mathrm{Spec}(u)$ ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu as tout de même dû faire quelque chose sur cet exercice. Qu'as-tu essayé ?
  • Jota
    Jota
    Salut Math Coss, un élément $\lambda $ de $Spec(u)$ est tel que $u(x)=\lambda x$ .
  • Jota
    Jota
    Salut GaBuZoMeu, voici ce que j'ai essayé pour la question 1:
    On sait que $\lambda $ $\in$ $Spec(u)$ alors $u(x)=\lambda x$
    Soit $\alpha \in Spec(P(u))$ alors $P(u)(x)=\alpha x$
    Ainsi,
    $(\sum_{i}{a_{i}u^{i}})(x)=\alpha x$
    $\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}u^{i}(x)}=\alpha x$
    $\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}(u(x))^{i}}=\alpha x$
    $\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}(\lambda x)^{i}}=\alpha x$ car $\lambda $ $\in$ $Spec(u)$
    $\Rightarrow $ $\sum_{i}{a_{i}\lambda^{i}x^{i}}=\alpha x$

    Je me suis arrêté a ce niveau.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Jota : avec des notations et des quantificateurs, on a :
    Si $\lambda \in Spec(u)$, alors il existe $x \in E$ non nul tel que $u(x)=\lambda x.$
    On demande de montrer que $P(\lambda) \in Spec(P(u))$ avec $P$ un polynôme.
    N'as-tu pas envie de calculer $P(u)(x)$ ?
    Ou encore que vaut $u(x), u^2(x), u^3(x)$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Jota a écrit:
    un élément $\lambda $ de $Spec(u)$ est tel que $u(x)=\lambda x$ .

    Ça n'a pas de sens.
    YvesM a écrit:
    Si $\lambda \in Spec(u)$, alors il existe $x \in E$ tel que $u(x)=\lambda x.$

    C'est vrai même si $\lambda \not \in Spec(u)$.
  • Jota
    Jota
    OK, mon raisonnement est-il correct!??
  • Poirot
    Poirot
    Non, $(u(x))^i$ n'a pas de sens, et $x^i$ non plus car $u(x)$ et $x$ sont des vecteurs. Tu devrais calculer $u^2(x)$, puis $u^3(x)$ à la main pour voir comment conclure dans le cas général, et sans inventer des règles de calcul fausses.
  • Jota
    Jota
    Ok, merci beaucoup!! Le résultat sort sans problème.
  • Jota
    Jota
    Au niveau de la question 2, je n'ai pas encore trouvé de solution.
  • paf
    paf
    N'y aurait-il pas un lien entre les racines du polynôme caractéristique et les valeurs propres (et donc avec la question 1) ?
  • Jota
    Jota
    Oui, $Spec(u)=\left\{ \lambda \in \mathbb{K} : \chi _{u}(\lambda)=0\right\} $
  • paf
    paf
    Ok. Applique la même chose à $P(u)$ et conclus pour la question 2.
  • Jota
    Jota
    Désolé mais je ne vois vraiment pas ce qu'il y'a lieu de faire.
  • Math Coss
    Math Coss
    Il y aurait lieu de poster ici une solution complète, même si elle sort sans problème.

    En passant, le choix de $x$ pour un vecteur de $E$ n'était pas optimal dans la mesure où dans la question 2, $x$ a tout l'air d'être une indéterminée.

    Sans plus de précision du niveau où tu es, je ne sais pas bien ce qui est attendu pour la question 2 non plus. Peut-être que tu utilises une base dans laquelle la matrice est triangulaire, pour autant que tu puisses en justifier l'existence dans une extension convenable ?

    La question 3 est plus facile : pour quelles valeurs de $\lambda$ peux-tu trouver une fonction non nulle indéfiniment dérivable $f$ telle que $\delta(f)=\lambda f$ ? (La réponse « je ne sais pas » n'est pas acceptée. Sauf si tu n'es pas encore passé en terminale bien sûr...)
  • Jota
    Jota
    Merci beaucoup. Je n'ai pas problème avec la question 3. C'est avec la question 2 que j'ai du mal à trouver un raisonnement qui tient la route.
  • paf
    paf
    On note que les valeurs propres de $P(u)$ sont les racines de son polynôme caractéristique (éventuellement dans la clôture algébrique du corps $\mathbb K$).
    La question 1 nous montre que si $\displaystyle \chi_u(x)= (-1)^n\prod_{i=1}^n (x-\lambda_i)$, les valeurs propres étant répétées suivant leur multiplicité, alors $\displaystyle (-1)^n\prod_{i=1}^n (x-P(\lambda_i))$ divise $\chi_{P(u)}(x)$. Vu qu'on est en dimension $n$, ce polynôme est en fait de degré $n$ et de coefficient dominant $(-1)^n$ (propriétés classiques du polynôme caractéristique) donc $\displaystyle \chi_{P(u)}(x) =
    (-1)^n\prod_{i=1}^n (x-P(\lambda_i))$.

    Bon, en rédigeant, je vois que c'est un peu moins simple que ce que je pensais mais on finit par retomber sur ses pieds.
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