Non-dérivabilité d'une fonction

Bonjour
Je m'intéresse à la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par $\quad\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n(1+nx^{2})}$.
Je souhaiterais démontrer que cette fonction n'est pas dérivable en $0$.

J'ai donc naturellement regardé $~\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+nx^{2})}~$ et j'ai essayé de démontrer que cette quantité tendait vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $0$. Mon idée était d'essayer de minorer cette quantité par quelque chose de grand, par exemple, en choisissant bien $x$ et en prenant une somme partielle...

Mais je n'y parviens pas ! Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Bonne journée,
$\alpha$-Nico

Réponses

  • Si $|x| < \delta$ on a $\frac{1}{n(1+nx^2)} > \frac{1}{n(1+n\delta^2)}$. On écrit alors pour tout $N \geq 1$, $$\frac{f(x)}{x} \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(1+n\delta^2)}.$$ Or on a facilement $$\frac{1}{n(1+n\delta^2)} \geq \int_n^{n+1} \frac{dt}{t(1+t\delta^2)},$$ puis en sommant $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(1+n\delta^2)} \geq \int_1^{N+1} \frac{dt}{t(1+t\delta^2)} = \log(N+1) -\log(1+\delta^2(N+1)) + \log 2.$$

    Il ne reste plus qu'à choisir judicieusement $N$ en fonction de $\delta$, par exemple $N=\left \lfloor \frac{1}{\delta^2} \right \rfloor$ pour montrer que l'on peut rendre $\frac{f(x)}{x}$ arbitrairement grand si $\delta$ est suffisamment petit.
  • Bonjour,

    Il me semble que l'approche que tu proposes va marcher.

    Si $|x| \le \frac{1}{\sqrt{N}}$, que peut-on dire des $N$ premiers termes de la somme (celle du taux d'accroissement) ?
  • C'est trop compliqué, on a simplement
    $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+nx^{2})}\longrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=+\infty$ par convergence monotone
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : vu l'exercice, je me place à un niveau prépa.
  • Sinon, par une majoration assez brutale :
    $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1+nx^2)} \geq \sum_{n=1}^{ \lfloor \frac{1}{x^2} \rfloor} \frac{1}{n(1+nx^2)} \geq \sum_{n=1}^{ \lfloor \frac{1}{x^2} \rfloor} \frac{1}{2n}.$

    Du coup, le terme de droite n'est pas majoré quand $x \to 0.$
  • Bonsoir à tous,

    Merci pour vos réponses !

    Comme l'a très justement deviné Poirot, c'était effectivement une réponse
    de niveau CPGE que je voulais, et celle proposée par Tryss me plait beaucoup...

    Bonne soirée,

    $\alpha$-Nico
  • Ici on peut faire de la convergence monotone sans le dire...
    Les fonctions $u_n:x\mapsto \frac{1}{n(1+nx^2)}$ sont paires et décroissantes sur $\R^+$ donc, par limite simple, leur somme $S:x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ l'est aussi et donc elle possède une limite en 0 par théorème de la limite monotone.
    Si cette limite est un réel $L$ alors par monotonie et par somme de réels positifs, on a pour tout $x$ non nul et tout entier $N$ non nul $L \geq S(x) \geq \sum_{k=1}^{N} u_k(x)$.
    Mais on peut passer à la limite lorsque $x$ tend vers 0 dans la somme de droite car toutes les fonctions sont continues et la somme est finie.
    Donc pour tout entier $N$ non nul on a $L \geq \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k}$ ce qui est absurde puisque la série harmonique diverge.
    Ainsi la limite du quotient $ \frac{f(x)}{x}$ est infinie en 0, et donc $f$ n'y est pas dérivable.
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