Sujet DNB 2018

Le problème est que dans $\R(X)$, les fractions rationnelles $\dfrac{(2X-5)(6X-8)}{(4X-10)(X+1)}$ et $\dfrac{6X-8}{2(X+1)}$ sont égales. Après il est vrai que l'énoncé parle de fonction rationnelle. La définition de fonction rationnelle est peut-être cohérente avec ce que dit Domi.

(edit: remplacement de la notation $\R[X]$-l'anneau des polynômes - par $\R(X)$: corps des fractions rationnelles).

roumegaire a écrit:

Les factorisations ne sont pas si compliquées si on connait ses identités remarquables, les meilleurs élèves de ma classe de 2nde auraient certainement pu s'y attaquer. Donc pour de bons élèves de TS, même dans des lycées "normaux", il ne faut pas exagérer non plus...

Il ne suffit pas de connaitre les identités remarquables. Pour factoriser f(x) il faut certes utiliser une fois l'identité a²-b², mais après il faudra factoriser par $(2x-5)$ et ouvrir les parenthèses de $-(9-x)$. Dans le deuxième - pas besoin d'identités remarquables, il faut juste savoir factoriser.
Il faut tester les deux avec les élèves de TS, mais je suis sur qu'il n'arriveront pas. Il faut prendre les initiatives + il n'ont pas fait ce genre d'exercice.

@Foys
Non, justement les fractions ne sont pas égales pour $x=2.5$ puisque la fraction de gauche n'est pas définit pour cette valeur: si $x=-2.5$ alors à gauche on a $\frac{0}{0}$ et la fraction de droite vaux $1$
J'ai fait ce cours dans les années 90 au collège (non français). Avant de faire quoique ce soit avec les fractions algébriques, il fallait vérifier pour quels $x$ elle existait.

PS L'énoncé demande de simplifier, donc la bonne réponse est $\frac{3x-8}{x+1}$

@vorobichek
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_rationnelle

Et il faut enlever ceux qui ne vont pas en LEGT et/ou qui ne font pas d'études supérieures...

Comment comparer les années 1970 et 2020 quasiment ? 50 ans d'écart...! Finalement la critique du système actuel remonte si je comprends bien à la création du collège unique. Tant que celui existera je ne vois pas comment on peut "remonter" le "niveau"....

Je base cette valeur de 10% uniquement sur ma propre expérience, pas sur une étude précise. Alors, soit, doublons la, triplons même, il en restera qu' une grande majorité d'élèves au collège n'ont pas besoin de maths pour leurs études et pour leur vie pro. Et quand je dis maths, j'y donne le sens que certains sur le forum admettent et qui les amènent à critiquer le niveau du DNB, du Bac, etc...

Tout juste... Le niveau fin de 3ème, c'est pour moi de la culture générale, nécessaire pour pouvoir débattre avec un minimum de sérieux. Ensuite, on commence à bosser. Un peu...

Balix a écrit:

Barcelone est en Espagne

FAUX !!!
Barcelone est en Catalogne....

Si on pose $g(x)=\dfrac {(2x+5)(6x+8)}{(4x+10)(x+1)} $ et $f (x)=\dfrac {3x+4}{x+1 }$, alors $ g\neq f$ car ces deux fonctions n 'ont pas le même ensemble de définition.
L'égalité $g (x)=f (x) $ sera vraie pour tout $x $ appartenant à l'ensemble de définition de $g$.

Ok, Barcelone mauvais exemple.

Et bien, en société, si tu situes Barcelone en Italie et que tu penses que la seconde guerre mondiale a commencé en 1914, tu n'iras pas loin

Tu peux aller aux Anges et te taper Nabilla X:-(

[small]Me cherchez pas, je suis déjà parti.[/small]

Ramon Mercader : qu'est-ce qu'une fonction ? Est-ce que pour toi, c'est une "expression", un programme de calcul ?
Si on me donne les définitions de "fonction" et de "domaine de définition d'une fonction", alors je saurai répondre à la question du sujet 73. Là, je ne sais pas.

J'ai de mon côté une définition de "fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle". La voici. C'est un extrait de poly de L2. Bien sûr, ce n'est pas pour le collège, mais c'est quoi, au collège, la définition de fonction rationnelle et de domaine de définition d'une fonction rationnelle ?


Définition. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$ une fraction rationnelle, $F=\dfrac{A}{B}$ sa forme réduite. Un pôle de $F$ (dans $\mathbb{K}$) est une racine de $B$ (dans $\mathbb{K}$). La multiplicité du pôle est sa multiplicité en tant que racine de $B$. Un zéro de $F$ (dans $\mathbb{K}$) est une racine de $A$ (dans $\mathbb{K}$). La multiplicité du zéro est sa multiplicité en tant que racine de $A$.

Une fraction rationnelle a un nombre fini de pôles. Une fraction rationnelle non nulle a un nombre fini de zéros.

Si $F=\dfrac{A}{B}$ est une fraction rationnelle sous forme réduite, et $c$ un élément de $\mathbb{K}$ qui n'est pas un pôle de $F$, alors on peut définir la valeur de $F$ en $c$ par
$$ F(c) = \frac{A(c)}{B(c)} \in \mathbb{K}\;.$$
Si $\dfrac{C}{D}$ est un autre représentant de $F$ et que $D(c)\neq 0$, alors on a aussi $F(c)=\dfrac{B(c)}{D(c)}$.
On obtient ainsi la fonction rationnelle $c\mapsto F(c)$ associée à la fraction rationnelle $F$. Cette fonction rationnelle est définie sur $\mathbb{K}$ privé de l'ensemble (fini) des pôles de $F$. On a $F(c)=0$ si et seulement si $c$ est un zéro de $F$. Si $c$ n'est pôle ni de $F$ ni de $G$, on a $(F+G)(c)=F(c)+G(c)$ et $(F\times G)(c)= F(c)\times G(c)$.

N.B. $\dfrac {3X+4}{X+1 }$ est la forme réduite de la fraction rationnelle $\dfrac {(2X+5)(6X+8)}{(4X+10)(X+1)}$ (il s'agit de la même fraction rationnelle). Le seul pôle de cette fraction rationnelle est $-1$, et la fonction rationnelle associée est définie en dehors de $-1$.

D'accord. Donc la fonction $x\mapsto (x+2)(x-2)$ est différente de la fonction $x\mapsto x^2-4$, puisque ce n'est pas le même programme de calcul ? Ou alors on quotiente l'ensemble des expressions par la relation d'équivalence "avoir même domaine de définition et renvoyer la même valeur réelle pour tout élément de ce domaine de définition" ?

Quand j'étais au collège ( période qui correspond au sujet de Ramon ) , une fonction était la donnée d'un ensemble de départ , d'un ensemble d'arrivée et d'un graphe , chaque élément de l'ensemble de départ ayant au plus une image . Le domaine de définition était l'ensemble des points de l'ensemble de départ ayant une image . Dans mes souvenirs on ne donnait pas de sens particulier à fractions rationnelles ou autres expressions du même genre .

Domi

Comparer le sujet du DNB 2018 avec un sujet de 1973 n’a pas vraiment de sens : le collège unique n’existait même pas à cette époque...il y avait même des filières...

@aléa a écrit:

@Domi: en fait, je pense que les deux définitions coexistaient sans que ça pose trop de problèmes existentiels à la plupart des gens.

On évitait probablement de poser les questions qui fâchent (comme aujourd'hui). Et même si les gens faisaient comme s'ils s'en moquaient, il est possible que certains s'indignassent quand on affirmait qu'il n'allait pas de soit que le domaine de définition de $\dfrac{(2X-5)(6X-8)}{(4X-10)(X+1)}$ est l'ensemble $\left \{ -1,\dfrac{5}{2}\right \}$ sans plus de précision.

Après on peut s'amuser et demander quelle est la décomposition en élément simples de $\dfrac{(2X-5)(6X-8)}{(4X-10)(X+1)}$? Est-ce la même que celle de $\dfrac{3X+4}{X+1}$?

GBZM a écrit:

Ramon Mercader : qu'est-ce qu'une fonction ? Est-ce que pour toi, c'est une "expression", un programme de calcul ?

Ne me prends pas pour un jambon....tout le monde ici sait très bien ce n'est pas une définition sérieuse.....

Aléa a écrit:

Oui, c'était l'idée du programme des classes à l'époque: une expression est un programme qui prend en entrée un réel et renvoie un réel ou "erreur"; l'ensemble de définition est l'ensemble des réels pour lesquels le résultat renvoyé est un réel.

Non. Les définitions données de 1970 à 1985 étaient bien plus rigoureuses que cela.



1)J'étais élève en 5ème lors de l'année scolaire 82-83. Il y avait un chapitre qui était consacré aux relations binaires d'un ensemble E vers un
ensemble F. On disait alors que E était l'ensemble de départ et que F était l'ensemble d'arrivée d'une telle relation.
(Dans ce chapitre, on parlait aussi de relations d'équivalence et de relations d'ordre...mais ceci est une autre histoire...)


2)Les fonctions étaient ensuite présentées comme des cas particuliers de relations binaires. Une fonction $f$ d'un ensemble $E$ vers un
ensemble $F$ est une relation binaire de $E$ vers $F$ telle que tout $ x \in E$ est en relation avec au plus un $y \in F$.
On disait alors que $y$ lorsqu'il existe est l'image de $x$ par $f$ et on adoptait la notation $y=f(x)$.

Exemple:
En posant $g(x)=\dfrac{(2x-5)(6x-8)}{(4x-10)(x+1)}$ on définit bien une fonction de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ car il est clair que tout nombre réel admet au plus une image par $g$.


3)On peut ensuite définir ce qu'est le domaine de définition d'une fonction $f$ de $E$ vers $F$ de la façon suivante:$D_f=\left\{x \in E : \exists \,y \in F /y=f(x)\right \}$. Le domaine de définition ne doit pas être confondu avec l'ensemble de départ. Si ces deux ensembles sont égaux, on dit que $f$ est une application....Or l'énoncé du brevet 1973 parle de fonctions et non pas d'applications.


4)On dira alors que deux fonctions $f$ et $g$ d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ sont égales si elles ont le même domaine de définition $D$ et si pour tout $x \in D$ on a: $f(x)=g(x)$

Exemple:
En posant $g(x)=\dfrac{(2x-5)(6x-8)}{(4x-10)(x+1)}$ et $f(x)=\dfrac{3x-4}{x+1}$ on définit bien deux fonctions $f$ et $g$ de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ qui n'ont pas le même domaine de définition. On a donc $f \neq g$. Cependant, on a $f(x)=g(x)$ pour tout $ x \in D_g $ .

A cette époque (de 1970 à 1985 environ) il y avait manifestement le souci d'utiliser un vocabulaire rigoureux, de distinguer ensemble de départ et domaine de définition ainsi que fonction et application. Nous sommes à des années lumière de cela aujourd'hui....

djedje_bzh a écrit:

Comparer le sujet du DNB 2018 avec un sujet de 1973 n’a pas vraiment de sens : le collège unique n’existait même pas à cette époque...il y avait même des filières...

On pourrait comparer avec ceux des années 90 ...

De toute façon la prétendue démocratisation du collège est une blague puisque elle s'est faite en sacrifiant systématiquement les exigences académiques. Comment peut-on qualifier de progrès le fait d'avoir permis à presque tout le monde d'atteindre la classe de 3ième en ayant le niveau de ce qui était autrefois le CM1 (à l'époque où pourtant tout le monde allait en CM1)?

(EDIT: citation attribuée à son véritable auteur)

N'oublions pas que "le" collège unique est une légende.
Entre la réforme Haby et la version finale qu'on connaît aujourd'hui (début des années 2000), il y a 25 ans, avec des nuances importances entre les deux.

Ramon Mercader écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1673640,1675084#msg-1675084
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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1 page en 1973, 6 pages en 2018... vive la déforestation !

Foys a écrit:

De toute façon la prétendue démocratisation du collège est une blague puisque elle s'est faite en sacrifiant systématiquement les exigences académiques.

Oui, un très mauvais choix. Au lieu d'améliorer les connaissances, la France a décidé de baisser les bras. Pourquoi si peu de confiance en capacités intellectuelles des enfants français ?

Foys a écrit:

Comment peut-on qualifier de progrès le fait d'avoir permis à presque tout le monde d'atteindre la classe de 3ième en ayant le niveau de ce qui était autrefois le CM1 (à l'époque où pourtant tout le monde allait en CM1)?

Je ne vois pas où est le problème? Le collège unique, c'est normal. On n'est plus au début de 20ieme siècle. Il y a des pays où c'est le "collège" unique jusqu'à l'âge de 15 ans (environ). Et c'est un succès, les élèves ont un très bons niveau. Suggérez-vous donc que les enfants français sont moins intelligents que les enfants asiatiques, russes, irlandais etc ?

@ bokaiido :
L'énoncé précise que c'est le morceau qui est choisi au hasard (donc a priori indépendamment de sa durée).

Bokaïdo,

il y a peut-être une confusion entre entendre et écouter, puisqu'à chaque question, il s'agit d'appuyer sur le bouton. Relis bien le sujet.

Cordialement.

Je trouve que le paquet que j'ai corrigé n'était pas mauvais (je pense que mes 3èmes étaient en moyenne en dessous), avec, notamment et avec surprise, pas mal d'élèves qui ont bien traité le calcul littéral

Bah oui c'est "là réponse constante" mais....plutôt sa négation ;-)