Sujet maths du bac S 2018
Réponses
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@Balix : faisons un peu d'analyse de texte.
Tu écris "Si A alors B et B est équivalent à C". Fort bien . Ça fournit une démonstration de "Si A alors C".
Qu'y a-t-il d'écrit dans le corrigé. Textuellement, il est écrit "Si A, alors B est équivalent à C". Ça n'est pas une démonstration de "Si A alors C". C'est dû à un usage abusif du connecteur logique $\Leftrightarrow$ comme abréviation. -
Ok je vois ce que tu veux dire
-
Formellement, cette implication de la forme $A\Rightarrow B\Leftrightarrow C$ est correcte (l'équivalence est vraie), mais il ne semble pas que ce soit l'intention de l'auteur d'écrire cette implication.
Cordialement. -
Effectivement, je rajoute les parenthèses (qui ne sont pas dans le texte cité, donc c'est une interprétation) :
$A\Rightarrow (B\Leftrightarrow C)$
Cordialement. -
Ah !
« L'absence de parenthèses implique une correction ambigüe » donc la correction est mal rédigée...
Ah non, c'est :
Ils n'écrivent pas les parenthèses donc « la correction est ambigüe donc elle est mal rédigée » !
J'ai bon? (:D -
Heu ... les parenthèses concernent ma formulation synthétique, et sont un oubli de ma part.
Donc non, tu n"as pas "bon", mais comme tu n'apportes rien de constructif, et que tu ne fais aucun effort pour comprendre ce que j'écris, ça n'a aucune importance.
Attendons ta rédaction du corrigé pour voir de quoi tu es capable ... -
Hum...
Alors pour être plus clair, voilà ce que je comptais apporter de constructif :
$A \implies B \implies C$ est une notation parfaitement standard pour $(A \implies
\land (B \implies C)$.
Ni $(A \implies \implies C$, ni $A \implies (B \implies C)$ n'ont le même sens que $A \implies B \implies C$.
L'auteur du corrigé voulait sans doute exprimer $(A \implies \land (B \iff C)$.
Pour ça, il a utilisé une notation alambiquée ressemblant à $A \implies B \iff C$.
Le couac ne vient donc pas tant d'un problème de parenthèses que d'une acceptation (ou non) de $A \implies B \iff C$ pour noter $(A \implies \land (B \iff C)$.
Il est très facile d'embrouiller des lycéens sur ces questions et, à contrario, leur faire comprendre quelque notion de logique demande plus d'efforts que ce qui transpire de ce corrigé.
Pardon de t'avoir donné l'impression de te faire perdre ton temps (:P) -
Absolument pas. Rappel : $\implies$ est un connecteur logique (c.-à-d. une loi de composition interne sur l'ensemble des formules), employé à tort comme une abréviation dans un texte. La seule question qui se pose quand on voit $A\implies B\implies C$, c'est : quelle est la priorité des opérations ? Suivant la réponse, on interprète comme $(A\impliesnotation parfaitement standard\implies C$ ou comme $A\implies (B\implies C)$. Sûrement pas comme $(A\implies \wedge(B\implies C)$, qui relève de l'usage abusif de $\implies$ comme abréviation (abréviation de quoi d'ailleurs ?) dans un texte. -
Le Lui ou un Autre a écrit:$A \implies B \implies C$ est une notation parfaitement standard pour $(A \implies \land (B \implies C)$.
Tu saurais citer un seul livre raisonnable où une telle chose apparaît ? -
Mea culpa, dans ce cas.
Je ne pense pas en être le seul étonné.
On est quand même toujours d'accord que $x<y<z$ est une notation pour $(x<y) \land (y<z)$?
Et, pour être sûr, si je vois la chose suivante sans explications, je dois considérer que c'est un usage abusif de connecteur logique?
$\begin{align*}
p|a^2b^3 & \implies (p|a) \lor (p|b)\\
& \implies (p^2|a^2) \lor (p^2|b^3)\\
& \implies p^2|a^2b^3
\end{align*}$ -
Et toi, @Math Coss, tu saurais mentionner un seul livre raisonnable où l'utilisation d'une telle convention est découragée ? (:D
Plus sérieusement, que pensez-vous alors des résolutions d'équations (p.ex. un système linéaire) qui se font en étapes, et avec des équivalences ?
Vous enlèveriez des points si une telle résolution se faisait avec des implications simples, pour ensuite vérifier (analyse synthèse), au motif d'une convention non-standard ? -
L'emploi du $\implies$ comme abréviation traduit une confusion entre "donc" et "si ... alors". Cette confusion pousse à refuser de comprendre $A\implies B$ quand $A$ est faux, attitude dont on a vu plusieurs exemples dans ce fil ou d'autres.
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Pour résoudre le noyau d'une matrice $A$, on fait comme suit :
Soit $X\in\R^n$.
Alors $X \in \ker(A) \Longleftrightarrow A \cdot X = 0 \Longleftrightarrow $ <résolution> $\Longleftrightarrow X \in \Vect(...)$
Ainsi $\ker(A) = \Vect(...)$.
Cette rédaction est-elle fausse du fait de la suite de $\Longleftrightarrow$ ?
Le devient-elle si on remplace les $\Longleftrightarrow$ par des $\Longrightarrow$, et le $=$ par $\subseteq$ ? -
En caml une fonction de type $a to b to c$ prend du $a$ et recrache du $b to c$, autrement dit la priorité des opérations est ici $a to (b to c)$. Par la correspondance de Curry-Howard...
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Pour des références livresques, j'ai trouvé :
EDIT : Références retirées pour éviter de les associer aux insultes qui se trouvent plus loin dans le fil.
Je n'ai pas ma bibliothèque sous la main alors j'ai fais comme j'ai pu.
À contrario, il est vrai que Wolfram Alpha ou Maple, par exemple, n'acceptent pas ces notations (Maple rajoute des parenthèses, avec d'ailleurs la priorité $(A\implies\implies C$, contrairement à ce que fait Caml selon Créer un nouveau profil). -
Si $a, b, c$ sont premiers entre eux alors $a times b times c$ désigne $(a times b) lor (b times c)$ (et non $(a times b) land (b times c)$).
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La convention adoptée par caml a la justification suivante: on écrit sans arrêt des fonctions $f$ $x_1$ ... $x_n$. Que fait une telle fonction? Elle prend $x_1$ et elle renvoie la fonction qui attend $x_2$ ... $x_n$ avant de renvoyer une sortie d'un certain type, disons $a$. Pour éviter les parenthèses superflues et irritantes, il est donc naturel de demander que $f$ ait type $t_1 to t_2 to dots to t_n to a$, où $t_i$ est le type de $x_i$. Tant que $t_i$ n'est pas lui-même un type flèche, il n'y a pas de confusion possible, mais si l'un des arguments est lui-même une fonction alors il va falloir ajouter des parenthèses autour de $t_i$ pour lever l'ambiguité.
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Références de quoi ?Pour des références livresques
D'écriture $A\implies B \implies C$ ?
Ou plutôt du genre
$$\begin{align} A&\implies B\\ &\implies C\end{align}\; ?$$
Ne vois-tu pas la différence ? Dans la deuxième, on s'épargne de recopier $A$, et je lis comme "De si A alors B je déduis si A alors C". -
Ce fil devient assez illisible à cause de quelques tricheurs à multiples pseudos.
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@GaBuZoMeu : Non, je ne vois pas vraiment la différence. On s'épargne de recopier dans les deux cas.
Mais j'avais posé la question à mon message précédent, pour savoir si la différence comptait pour toi ou pas.
Dans la deuxième référence, il s'agit de la notation en ligne, avec des équivalences.
$A \iff B \iff C$
Pardon pour avoir participé à dévier le fil. En ce qui me concerne, je continuerai par MP si j'en éprouve la nécessité. -
Dans le cas de la double équivalence, il n'y a pas de problème, Christophe l'avait prouvé il y a quelques années, les deux parenthésages donnent des propriétés équivalentes.
J'ai été un peu sévère suite à ton message, mais quand tu t'expliques, on comprend que tu ne fais pas le troll, qu'il s'agissait d'une vraie incompréhension.
Cordialement. -
J'ai la réponse à ma dernière question : merci.
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Mais n'y aurait-il pas une erreur dans cet exercice ? (a;b)=(1;1) ?
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et (a;b)=(1;1) ?
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Oilhat:
Si tu as le courage de lire http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1671462,1676776#msg-1676776
tu comprendras, peut-être, qu'il n'y a pas de problème. -
@Findepartie
Je n'ai pas eu le courage de lire tout ce qui concerne le lien que tu as mis. Mais, je ne vois pas ce que je dois comprendre. Peut-être ne pointe-t-il pas où tu voulais ?
Pour être plus clair, voilà ce qui me gène :
1a) notation :
Soit n dans N,
on note P(n) l'ensemble des diviseurs premiers de n.
1b) définition du sujet :
Soit n dans N,
n est dit puissant lorsque, pour tout p dans P(n), p^2 divise n
Pour moi il y a un bug :
P(1) est vide. La fonction de P(1) dans N qui, à p, associe p^2, n'est pas définie.
La définition du sujet n'est pas correcte à mon sens ; ou alors il faut préciser n dans N\{1} et 1 n'est ni puissant, ni non puissant.
1c) Une définition qui me conviendrait mieux :
soit n dans N,
n est dit puissant lorsque, pour tout p premier, si p divise n alors p^2 divise n. -
P(1) est vide. La fonction de P(1) dans N qui, à p, associe p^2, n'est pas définie.
Bien sûr que si !
GaBuZoMeu
Secrétaire Général de la LPDEV. -
Oui.
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Oui. Si tu n'en es pas convaincu, c'est que tu n'as pas la bonne définition de fonction. Peux-tu me donner la définition de "$f$ est une fonction de $A$ dans $B$" ?
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Oilhat:
Je reprends un argument donné par autre intervenant en faveur du fait que 1 est bien un nombre puissant.
Si $p$ premier divise $1$ alors il existe q entier naturel tel que $1=pq$ , on élève au carré les deux membres de cette égalité au carré on obtient que $1=p^2q^2$ donc $p^2$ divise $1$.
Tu vas m'objecter que je fais une supposition idiote, qu'un nombre premier $p$ divise 1 mais ce qui est important est que si je fais cette supposition, $p$ premier divise $1$ je parviens à montrer que $p^2$ divise $1$.
Le fait que ce que je suppose soit faux n'entre pas en ligne de compte.
On retrouve ce mécanisme quand on fait un raisonnement par récurrence.
On a une suite de proposition $P_n$ pour tout $n$ entier naturel.
Dans le raisonnement par récurrence il y a l'étape dite vérification de l'hérédité.
On suppose que $P_n$ est vraie et on veut arriver par un raisonnement à montrer que $P_{n+1}$ est vraie.
A cette étape on ne sait pas si $P_n$ est vraie pour tout $n$ entier naturel et on s'en fiche*.
Tout ce qui nous intéresse est d'arriver à écrire un raisonnement qui permet, en supposant $P_n$ vraie d'arriver à montrer que $P_{n+1}$ est vraie.
*: Si on le savait déjà on ne se fatiguerait pas à faire un raisonnement pour l'établir. -
@ Gabuzomeu
Ok pour la fonction bien définie sur le vide.
@Findepartie
Pour 1, je prends p dans l'ensemble vide, je regarde si p^2 divise 1 conformément à la définition posée. Mais là je bug. -
Oilhat:
Tu n'as pas été convaincu par le raisonnement (emprunté à Foys je crois) que j'ai repris dans mon message précédent?
La raisonnement montre que si on suppose $p$ nombre premier divisant 1 alors on obtient que $p^2$ divise 1.
Et la définition donnée pour un nombre puissant permet de conclure. -
S'il n'est pas vrai que tout machin vérifie truc, c'est qu'il existe un machin qui ne vérifie pas truc. D'accord ?
S'il n'est pas vrai que pour tout diviseur premier $p$ de $1$, $p^2$ divise $1$, c'est qu'il existe un diviseur premier $p$ de $1$ tel que $p^2$ ne divise $1$. Oilhat, tu peux m'en montrer un ? -
Oilhat:
Soient a,b entiers naturels.
Par définition, a divise b s'il existe c entier naturel tel que b=ac. -
Ce n'est pas la définition de la divisibilité qui me pose problème.
En fait, vous cernez mal mon problème. Je vais essayer de vous montrez comment je pense.
L'exemple sur la récurrence est intéressant, puisqu'on ne prouve rien (ni vrai, ni faux) avec une hérédité vraie si on ne trouve pas un entier pour lequel la propriété est vraie. Ne pas trouver ne signifie pas qu'un tel entier n'existe pas. Par contre, si on démontre qu'un tel entier n'existe pas on a gagné la propriété est fausse.
Démontrer qu'il y a une implication ne prouve rien. C'est ce que l'on fait dans le cas de l'hérédité lors d'un raisonnement par récurrence.
C'est très intéressant, puisque l'initialisation nous permet de travailler dans un ensemble non vide d'entiers vérifiant une certaine propriété, qui plus est, est héréditaire.
On a besoin d'une existence (petit jeu de mots), on ne travaille pas dans le vide.
Pour reprendre le raisonnement emprunté à Foys (d'après Gabuzomeu), pour moi, on est dans ce contexte purement existentiel (petit jeu de mots).
On montre une implication. En aucun cas on ne démontre une quelconque existence d'un entier premier et diviseur de 1 dont le carré divise 1.
L'ensemble des entiers premier divisant 1 est vide. Ca je sais le prouver.
Pour moi une définition, même si on l'écrit avec un "si" ou un "lorsque" est une équivalence :
On dira que (le chapeau est rouge) si (le chapeau a des boutons).
On dira que (le chapeau est rouge) lorsque (le chapeau a des boutons).
ie: (Le chapeau est rouge) si et seulement si (le chapeau a des boutons).
(un entier n est puissant) si et seulement si (pour tout p diviseur premier de n, p^2 est diviseur de n).
(1 est puissant) si et seulement si (pour tout diviseur premier p de 1, p^2 divise 1).
J'écrirai volontiers :
Soit p un diviseur premier de 1. (M...e, mais où est-il ?)
le raisonnement de Foys par exemple.
Conclusion : 1 est puissant.
Mais non. Je n'arrive pas à l'accepter parce que le p posé n'existe pas.
Par contre, je suis ok avec Gabuzomeu :
non(pour tout p premier diviseur de 1 p^2 divise 1) équivaut à (il existe p diviseur premier de 1 tq p^2 ne divise pas 1).
La seconde assertion est fausse donc la première aussi donc (pour tout p premier diviseur de 1 p^2 divise 1).
Curieusement, je ne suis plus dans le vide.
Là, je me dis, il faut apprendre à travailler dans le vide.
Peut-être faut-il se dire que la contre apposition permet d'éviter le vide ? peut-être faut-il être plus direct et ne pas se soucier du vide ?
En tous cas merci pour ces échanges. -
Si $E$ est un ensemble et $P$ un symbole de prédicat (une propriété), alors $\forall x \in E, P(x)$ est en fait l'abréviation de $\forall x \left(x \in E \Rightarrow P(x) \right )$.
Ainsi,si lorsque $n\in \N$, on désigne par $P(n)$ l'ensemble des diviseurs premiers de $n$, les énoncés suivants sont en fait les mêmes:
(*) $\forall k\in P(1),\ k^2\mid 1$
(**) $\forall k,\ \left (k \in P(1) \Rightarrow k^2 \mid 1\right )$.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Si vous tombez sur un livre qui abrège $(A\Rightarrowmarsup a écrit:Et toi, @Math Coss, tu saurais mentionner un seul livre raisonnable où l'utilisation d'une telle convention est découragée ? smiling bouncing smiley \wedge ( B \Rightarrow C)$ par $A \Rightarrow B \Rightarrow C$ faites vous une faveur et balancez-le à la poubelle le plus vite possible, vous avez l'équivalent d'un déchet radioactif entre les mains.
Lorsqu'il n'y a pas de parenthèses, $A \Rightarrow B \Rightarrow C$ désigne habituellement $A \Rightarrow (B \Rightarrow C)$ plutôt que $(A \Rightarrow \Rightarrow C$. Peu importe ici, aucune de ces deux formules n'est équivalente à $(A\Rightarrow \wedge ( B \Rightarrow C)$. Faisons-le avec des tables de vérité:
Si $B$ est fausse, $A$ vraie et $C$ vraie, alors $(A\Rightarrow \wedge ( B \Rightarrow C)$ est fausse, mais $(A \Rightarrow \Rightarrow C$ et $A \Rightarrow (B \Rightarrow C)$ sont toutes les deux vraies. Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Oilhat : toujours la même erreur. Le "soit $x$ tel que $A(x)$ ... alors $B(x)$" dans un raisonnement mathématique qui démontre $\forall x\ (A(x) \implies B(x))$ ne présuppose en rien qu'il existe effectivement un tel $x$.
Une erreur qui a la vie dure et qui a au moins un ardent défenseur en la personne de FdP. -
Oilhat:
Dans une récurrence l'hérédité est la démonstration que
$P_n\Rightarrow P_{n+1}$ est vraie pour tout $n$ entier naturel pour lesquels $P_n$ est considérée.
On se moque à cette étape de savoir que $P_n,P_{n+1}$ soient faux ou vrais pour tout $n$.
On a des exemples de propriétés où on peut établir que $P_n\Rightarrow P_{n+1}$ est vraie pour tous les entiers naturels $n$ considérés mais l'initialisation ne peut pas être faite avec un entier $n_0$ ce qui veut dire qu'on ne peut pas conclure sur le fait que $P_n$ soit vraie pour tous les $n>n_0$ à considérer. Et on peut vérifier qu'en effet la propriété considérée est fausse pour des valeurs de $n$ plus grandes que $n_0$. Ce qui veut dire que lorsqu'on a fait le raisonnement pour établir l'hérédité on a manipulé des $P_n$ qui sont faux.
PS:
Ce qui m'a convaincu, la définition a cette forme-là :
A<=>(B=>C)
Si tu montres que B=>C est vraie tu vérifies que la propriété que tu cherches à vérifier est vraie pour l'élément de l'ensemble des éléments qui sont considérés.
Si B est fausse, l'implication B=>C est vraie. Dans le cas d'espèce l'assertion $p$ premier divise $1$ est fausse donc
$p$ divise $1$=>$p^2$ divise $1$ est vraie et donc $A$ est vraie et ainsi $1$ est bien un nombre puissant.
PS2:
Maintenant comment expliquez-vous à un élève de Terminale que $1$ est un nombre puissant? :-D
(dans le but de donner une réponse qui sera comprise) -
*FdP a écrit:Ce qui m'a convaincu, la définition a cette forme-là:
A<=>(B=>C)
C'est faux. La définition a cette forme ; $A(n) \Leftrightarrow \forall x\ (B(n,x)\Rightarrow A(n,x))$.
Pas étonnant que tu aies des problèmes d'interprétation persistants si tu ne vois pas le quantificateur universel. -
Fin de partie écrivait:
> Oilhat:
>
> Dans une récurrence l'hérédité est la
> démonstration que
>
> $P_n\Rightarrow P_{n+1}$ est vraie pour tout $n$
> entier naturel pour lesquels $P_n$ est
> considérée.
>
> On se moque à cette étape de savoir que
> $P_n,P_{n+1}$ soient faux ou vrais pour tout $n$.
>
> On a des exemples de propriétés où on peut
> établir que $P_n\Rightarrow P_{n+1}$ est vraie
> pour tous les entiers naturels $n$ considérés
> mais l'initialisation ne peut pas être faite avec
> un entier $n_0$ ce qui veut dire qu'on ne peut pas
> conclure sur le fait que $P_n$ soit vraie pour
> tous les $n>n_0$ à considérer. Et on peut
> vérifier qu'en effet la propriété considérée
> est fausse pour des valeurs de $n$ plus grandes
> que $n_0$. Ce qui veut dire que lorsqu'on a fait
> le raisonnement pour établir l'hérédité on a
> manipulé des $P_n$ qui sont faux.
Ca ne contredit pas ce que j'ai écrit sur la récurrence. Bien au contraire. -
Foys écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1669874,1677242#msg-1677242
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Voilà qui éclaire pleinement ma lanterne. :-)
Reconnaissons que la formulation de l'énoncé était difficilement accessible à des élèves de terminale ainsi qu'à moi. En particulier les plus rigoureux à leur niveau.
Je pense que la formulation que j'ai donnée plus haut (sous réserve qu'elle soit exacte) aurait été plus adaptée. -
L'article de Wikipédia sur la récurrence donne un exemple de récurrence qui ne fonctionne pas.
On considère la propriété pour tout $n$ entier naturel, $P_n$: $9^n-2^n$
On peut montrer que pour tout $n$ entier naturel, $P_{n}\Rightarrow P_{n+1}$
Pourtant la propriété n'est vraie pour aucun entier.
Tu réponds quoi à un élève qui te dit, en parlant de récurrence: mais si on suppose que $P_n$ est vraie, $n$ est quelconque puisqu'on ne donne pas de valeur particulière à $n$, n'est-ce pas une manière de faire un raisonnement circulaire ? :-D
Tu vas lui répondre : mais on s'en moque de $P_n$ et surtout de savoir si ces propriétés sont vraies ou fausses à cette étape, ce qui nous intéresse ce sont les propositions $P_n\Rightarrow P_{n+1}$, on veut montrer que ces propositions sont vraies ? :-D
PS. Je ne devrais pas écrire cela. Je vais avoir 100 messages qui m'expliquent pourquoi le raisonnement par récurrence qui semble s'offrir échoue. :-D -
Plus simple : pour tout $n\in\mathbb N$, $2n+1$ pair $\Rightarrow 2(n+1)+1$ pair.
-
À propos des définitions fausses ou pas, redondantes ou pas, dans les sujets de bac : on peut quand même reconnaître que certaines formulations peuvent paraître bizarres voire paradoxales à un élève de term S.
À plus haut niveau, tous ces points ne posent (en théorie) plus de problème après une semaine de cours de logique et une feuille de TD de 50 exercices où on fait bien rentrer dans le crâne des étudiants d'une fois pour toutes (en théorie) ce que signifie une implication, quantifier par un ensemble y compris vide, former une somme ou un produit indexé par un ensemble vide, vérifier si la fonction du vide dans le vide est constante ou pas, croissante ou pas etc. Et ensuite quelques semaines plus tard on en remet une couche avec les exos du type est-ce que la relation d'équivalence vide est plus fine ou moins fine que telle autre, montrer que 0 est le plus grand élément pour la divisibilité, etc etc. Bref, tous ces exercices où on reprogramme leur cerveau pour en faire des matheux :-) Ça prend du temps, beaucoup de temps. Dans mon expérience, les étudiants un peu intéressés aiment beaucoup ça.
Le problème n'est pas mathématique, toutes ces questions ont une réponse qui n'est maintenant plus sujet à discussion, le problème c'est qu'on ne peut pas demander à un terminale S de trouver ça naturel. Un terminale n'a jamais fait de cours de logique, on ne lui a pas appris ce qu'est une implication, souvent il écrit => au lieu de donc, ne met pas les liens logiques entre ses assertions etc, il ne perd pas des points quand il fait ça (alors qu'à la fac, j'enlève minimum un quart des points, au premier semestre). On ne peut pas lui en vouloir, il n'a pas été formé pour ça, et n'est pas évalué sur ça.
On n'arrivera pas (je crains) à remettre une quantité raisonnable de logique au lycée. Ça a l'air tout simplement orthogonal aux priorités actuelles pour ces classes (actuellement si je comprends bien, l'enjeu est de remettre un tout petit plus de calcul : or on n'arrivera pas à la fois à réhabiliter le calcul et à faire les nazis sur la rigueur logique, c'est intenable). Il faut donc accepter ces faiblesses en logique, faire attention lorsqu'on rédige un sujet, et pas passer en mode "c'est quand même vrai pour l'ensemble vide, si, si, je vois pas le problème" : c'est bien de se faire plaisir deux minutes mais l'objectif est que ce soit compréhensible par des lycéens, pas de les faire bloquer. -
++
-
D'ailleurs, 1 pose problème aux élèves (et pas que) avec la définition posée aux élèves de TS.
-
Gai Requin, merci pour ton exemple qui est en effet bien plus simple que celui que je suis allé chercher sur Wikipedia.
Merci Questions pour ton message.
J'avais l'impression depuis quelques jours d'être entré dans la cinquième dimension ou qu'on me faisait une farce.
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