Fonctions différentiables

Encore faut-il séparer le cas Gateaux-différentiable du cas Fréchet-différentiable. Sinon, tu aurais quand même pu faire une recherche sur le net non?

C'est vrai qu'il ne fallait pas chercher bien loin. Mais maintenant que tu es là Baby j'ai quelque chose à te proposer pour voir si tu as compris (promis, c'est pas sorcier). Soit $\mathcal{L} : E \rightarrow F$ une application linéaire continue entre espaces de Banach. Montrer qu'elle est différentiable et donner sa différentielle.

C'est faux, exemple classique : $x \mapsto |x|$. Continue mais pas différentiable en $0$.

Pour compléter ce que disent mes camarades, il y a plusieurs techniques :

1) utiliser les règles classiques (somme, composée, etc.) décomposant la fonction en sous-morceaux connus pour être différentiables.

C'est en général celle que l'on fait si l'expression s'y prête. Par exemple, pour une fonction d'une variable, tu ne vas pas montrer la dérivabilité de $x\mapsto \sin(\sqrt{x^4+\cos(x)+7})$ en revenant à la définition.

Exemple s'y prêtant bien, sur $\R^n$ euclidien canonique, $x\mapsto \|Ax-b\|^2$, en supposant connu la différentielle de la norme euclidienne au carré (ce qui se fait grâce à 2 ou 3 en pratique).

2) Si tu as une fonction qui part d'un ouvert de $\R^n$ dans $\R^p$, tu as une CNS pour être $C^1$ (ce qui entraînera différentiable) portant uniquement sur les dérivées partielles.

Par exemple, pour $f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x^4+y^4+1}$ cela s'y prête bien.

3) Et effectivement, dans le pire des cas, on revient à la définition. Le problème c'est que l'on doit identifier le $L$ et le $\varepsilon$. Alors effectivement pour proposer un bon candidat pour être $L$, on peut commencer par regarder les dérivées directionnelles, et dans le cas de $E=\R^n$ il suffit de faire les dérivées partielles, car sous réserve d'existence on connaît l'expression de $L$ en fonction des dérivées directionnelles (ou des dérivées partielles si $E=\R^n$). Et connaissant $L$, on obtient le reste, il suffit alors de vérifier que ces deux fonctions ont les propriétés requises.

Exemple s'y prêtant bien : dans $E={\mathcal M}_n(\R)$, différentier $M \mapsto M^2$.