Sujet maths du bac S 2018

Le sujet de ce matin.
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Réponses

  • Bah franchement c'est pas trop mal, en étant bienveillant.

    Enfin, ça continue à filer toutes les réponses aux questions, y'a pas de calcul et pour un élève un peu entraîné ça ressemble presque à un texte à trous, mais ça on le sait et ça ne risque pas de changer du jour au lendemain, surtout si personne veut assez fort.

    En fait je suis juste content du sujet parce qu'il y a pas mal de "beauté intérieure" dans les derniers exercices :-) équations diophantiennes, anneaux d'entiers quadratiques, éléments de norme un, plongement canonique sous forme d'algèbre de matrices, etc. L'exercice peut être "pimpé" à tous les niveaux jusqu'au niveau agreg. Je me demande qui a fait le sujet : est-ce que c'est original, ou bien est-ce que c'est repris d'un vieux filon d'exos classiques de TS dont on a oublié l'origine... ?

    Maintenant qu'ils ont les matrices en fait ils peuvent mettre beaucoup de choses, s'ils le veulent. Le problème c'est qu'ils ont l'air d'être obnubilés par les calculs de puissances d'une matrice. Le coup de bol c'est que pour ce problème ça cadrait très bien.

    En tout cas, ça fait quelques ajouts dans la liste de questions courtes pour les agrégatifs :-)
  • Il n'y a pas une erreur dans la dénomination du cube ?
  • Tu écrirais ABCD H... Lorsque j’expliquais à mes élèves au début, je faisais comme dans le plan, c'est à dire que je nommais ce solide ABCDHEFG. Mais dans les exercices de géométrie dans l'espace, on dirait qu'il est convenu que pour nommer un prisme droit, on nomme une base puis la base obtenue par translation (en respectant l'ordre). Et finalement je ne crois pas qu'il y ait de façon correcte de nommer des solides via leurs sommets dès que l'on a des objets plus compliqués que des prismes.
  • En effet, on peut nommer les solides comme on le veut, poli a raison, dans les livres, on nomme la base, ABCD puis on met le point E "au-dessus" de A et F "au-dessus" de G etc ...
  • Dans l'exercice d'arithmétique Partie A, 2)b).

    Je me demande la réponse qu'on attend du candidat.
    Il est admis que la suite $(x_n)$ est strictement positive mais on ne suppose rien n'admet rien sur la suite des $y_n$.

    On peut montrer par récurrence que cette dernière suite est positive et que puisque $x_{n+1}=3x_n+8y_n$ alors,

    $x_{n+1}-x_n=2x_n+8y_n$ et on peut conclure.

    Mais l'indication donnée sur la stricte positivité des $x_n$ me laisse penser que ce n'est pas la solution attendue.
  • Il est précisé que yn est entier naturel pour tout n ce qui rend facile la question non ?

    gauss
  • Gauss:

    Oui, en effet.
  • Bonjour à tous,

    De retour sur ce forum, après une longue absence... ;-)

    En ce qui concerne le sujet de S de ce matin, il est vrai qu'il n'est "pas trop mal" pour des profs, mais je trouve les exos 3, 4 et surtout 4spé pas si simples que cela pour les "nouveaux" élèves de TS.

    A mon avis (mais on verra ça lundi...), l'exo de spé va être une cata (à part si on est très bienveillant sur la partie A (parce que la partie B n'aura été touchée que par quelques-uns, à part le 1. évidemment)). Pour l'exo 4 non spé, la question 3 est loin d'être évidente...
    Et pour l'exo 3, suis pas plus fan que ça...

    D'autres avis ?

    Bon courage à ceux (comme moi :-() qui vont se taper les corrections.
  • Pour ma culture générale: quelques petites questions.
    1) Elle sort d'où cette matrice? Théorie plus générale ?
    2) Quand on fait les calculs, on voit bien que cela fonctionne. Cela fonctionne bien car 8+1 est un carré parfait, n'est-ce pas ? Si on veut généraliser : si on remplace 8 par le nombre d avec d+1 un carré parfait, on peut encore trouver une matrice du même acabit. (j'ai vérifié). Mais, si d+1 n'est pas un carré parfait ?
    3) En procédant ainsi, on a toutes les solutions ?

    Merci
  • 3) En ce qui concerne ma troisième question. J'ai vérifié que les solutions (x;y) de (E) pour x<10000 et y<10000 étaient toutes données par les coefficients de la 1ère colonne des matrices puissance de A. Il me semble que l'on a bien toutes les solutions de (E) en procédant ainsi.
  • Robert d'England :

    Si tu parles de l'exercice d'arithmétique:

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_de_Pell-Fermat
  • Bonjour,

    je n'ai pas le sujet sous les yeux, mais a priori je dirais que la matrice donnée dans l'exercice de spé correspond à la multiplication par une unité fondamentale dans l'anneau $\Z[\sqrt{8}]$. De mémoire le groupe des unités de cet anneau devrait être isomorphe à $\{-1,1\} \times <\omega>$, $<\omega>$ désignant le sous groupe multiplicatif de $\Z[\sqrt{8}]^*$, engendré par l'unité fondamentale $\omega$.
    Il ne s'agit là que de vagues souvenirs, nul doute que tu auras par la suite des réponses plus précises.

    Bonne soirée

    F.
  • Ceux qui ont aimé l'exercice de spé de ce matin apprécieront sans doute celui-ci du sujet Asie 2015
  • Sujet bas de plafond....comme d'habitude....Ce n'est pas avec un contenu aussi minable que l'on prépare les futurs bacheliers à l'enseignement supérieur...
    Je suis vraiment étonné que certains profs jugent ce sujet satisfaisant....
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Merci pour vos réponses Fin de partie et malavita : je vais regarder le lien entre les fractions continues et cette matrice.

    Audeo : C'est déjà tombé !! Etonnant ! En regardant ton lien. Cela donne une idée pour répondre à ma question 3). Si on a une autre solution, on peut construire 2 suites strictement décroissantes d'entiers solution de l'équation jusque au moment où une solution est du type (x,0). Et (1,0) est la seule solution. Merci
  • Je n'ai pas trouvé le sujet facile du tout.
    Je parle pour mes élèves qui se sont surement bien plantés.
  • Ramon Mercader écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1669874,1670144#msg-1670144
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je ne sais pas en quelle année vous avez passé le BAC, mais depuis les choses ont changé.
    Aujourd'hui c'est plutôt "savez-vous vous servir de votre calculatrice" à la place de "savez-vous réfléchir, chercher sur brouillon et organiser vos pensée".
    Ce sujet (en dehors de l'exercice de proba), me rappelle les sujets d'avant réforme et j'en suis satisfait, mais mes élèves ont détesté ce sujet et ils ont raison.

    1) On ne fait plus de changement de variable en TS (même si on peut en faire, ce n'est pas exigible et n'apparaît nullement dans le programme officiel), le seul moment où j'en ai parlé (mais peut-être ai-je eu tort de ne pas en faire plus souvent) c'est quand on calcule la limite d'une composée de 2 fonctions. Donc la question de résolution d'une équation avec changement de variable a pu déconcerter les élèves, même si ce n'est pas difficile en soi.

    2) La dernière question de l'exercice 4 (non spé) est infaisable en tant que telle pour un élève de TS: comment montrer que la suite converge AVANT de calculer sa limite ? Un bon élève qui connaît son cours peut justifier que la suite $(l_n)$ est croissante, mais de là à la majorer... Et si vous me dites qu'il faut montrer que comme -1<q<1, alors $q^n$ admet une limite et donc qu'ensuite la suite converge, c'est tiré par les cheveux pour des élèves qui n'ont jamais fait ce raisonnement (sauf pour illustrer peut-être une suite convergente dans le cours).

    Je ne vais pas relever tout ce qui me gêne dans ce sujet, mais pour moi il arrive avec 7 ans de retard dans cette forme-là.
  • Idem ! Et les 1ers retours de mes élèves ne sont pas très encourageants... Et pour répondre à Ramon, le contenu est loin d'être minable : c'est un sujet de bac, pas d'agreg...
  • @damdam : je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi concernant les changements de variables. On en fait quelques uns en 1ère et Terminale dans différents chapitres ( exp , ln, trigonométrie, suites...). Le changement de variable $X=e^x$ pour obtenir une équation du second degré est plutôt classique.
    Quant à la dernière question, je ne vois pas où est le problème ? Les élèves ont parfois à étudier la convergence d'une suite $(u_n)$ de la forme $u_n=a+bq^n$ (suite arithmético-géométrique par exemple) et ça ne pose aucun problème. Or, on est dans ce cas modulo une petite transformation de $l_n$.
  • J'ai surveillé l'épreuve ce matin et j'ai vu beaucoup d'élèves galérer sur l'exercice de géométrie dans l'espace...

    Quand à l'exercice de spécialité, je ne pense pas qu'il ait été bien réussi. Je trouve aussi que certaines questions étaient "mal" posées.
    Par exemple, on aurait pu faire remarquer aux élèves que, pour tout entier x>1, x^2 est puissant. Cela aurait permis de simplifier la question avec x^2-1 et x^2 dans la partie B.
  • Pour le changement de variable, je suis assez d'accord avec Chris, voire avec Ramon.
    Vu qu'on donne le tableau de signes de la dérivée (grand foutage de gueule là , quand même), la non résolution de la question n'est pas pénalisante pour la suite, on peut considérer la question comme indépendante.
    Et pourtant, on leur donne le changement de variable à faire ET on leur dit bien "surtout , n'oublie pas de repasser à la variable de départ et d'éliminer la valeur impossible".
    Plus généralement, je trouve l'exercice intéressant , mais avec toutes les indications , un peu vide de substance. Genre la question 4a)...

    Pour la question de non spé, une fois qu'ils ont écrit la longueur de la spirale sous la forme de la somme d'une suite géométrique, la convergence et la limite se déduisent en même temps, je pense effectivement que la formulation peut troubler. Par contre l'exercice est classique, je pense l'avoir vu une ou deux fois dans les annales récentes
  • Ce type de changement de variable était encore au programme de TES il y a quelques années....le niveau monte...
    L'exercice est totalement prémaché.....on admet même le signe de $ f'....$
    Le début de l'exercice de "probabilités" est de niveau STMG et le reste se traite avec une calculatrice.....
    Pour démontrer que la suite de l'exercice n°4 converge....il suffit de calculer sa limite...
    L'exercice de géométrie est misérable (citer les hauteurs d'un tétraèdre...appliquer des théorèmes ultrabasiques sur l'orthogonalité....qui étaient au programme de seconde il y a 10 ans....)

    Pour répondre à @damdam, j'ai passé le Bac C en 1988 et j'ai eu 19 en maths.
    Liberté, égalité, choucroute.
  • j'ai passé le Bac en 1988 et j'ai eu 19 en maths.

    ben t'es pas si vieux, on pensait que tu l'avais eu en 62
  • gambitro écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1669874,1670318#msg-1670318
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    La question 1. permettait de faire la question 2 en trois lignes.
    $x^2$ et $x^2-1$ sont des entiers consécutifs.
    $x^2$ est puissant d'après la question 1 en prenant $a=x$ et $b=1$.
    $x^2-1=8y^2=y^2.2^3$ est puissant d'après la question 1 en prenant $a=y$ et $b=2$.
  • Effacé après l'intervention de GaBuZoMeu page 3.
  • chris93 écrivait ;
    > $x^2$ est puissant d'après la question 1 en prenant $a=x$ et $b=1$.

    En effet, je n'y avais pas pensé: 1=1^3... ça m'étonnerait que des élèves aient vu cette astuce.

    C'est vrai que donner le tableau de signe de la dérivée dans l'exercice 1, c'est un peu honteux !
    L'exercice de probabilité est très simple: c'est du niveau ES.
  • Balix a écrit:
    ben t'es pas si vieux, on pensait que tu l'avais eu en 62

    Avant ou après JC ?
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Ramon Mercader écrivait:
    > Pour démontrer que la suite de l'exercice n°4 converge....il suffit de calculer sa limite...

    Vous confirmez bien que la question est mal posée, on aurait pu se contenter de "calculer la limite de la suite", le "Démontrer que la suite converge" n'a rien à faire ici.

    > Pour répondre à @damdam, j'ai passé le Bac C en 1988 et j'ai eu 19 en maths.

    Voilà pourquoi vous êtes chagrinés par le niveau du sujet, l'esprit du programme de TS est totalement différent.
  • chris93 écrivait :
    > @damdam : je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi concernant les changements de variables.
    > On en fait quelques uns en 1ère et Terminale dans différents chapitres ( exp , ln, trigonométrie, suites...).
    > Le changement de variable $X=e^x$ pour obtenir une équation du second degré est plutôt classique.

    Donnez-moi la page et la ligne du programme officiel qui peut permettre de penser que cet exercice pourrait être "classique".
    il est classique pour moi car je l'ai travaillé en tant que lycéen, mais rien dans les programmes de première ou de Terminale ne distille l'idée de ce genre d'exercice, aussi facile soit-il.

    > Quant à la dernière question, je ne vois pas où est le problème ? Les élèves ont parfois à
    > étudier la convergence d'une suite $(u_n)$ de la forme $u_n=a+bq^n$ (suite
    > arithmético-géométrique par exemple) et ça ne pose aucun problème. Or, on est dans ce cas
    > modulo une petite transformation de $l_n$.

    Dans ce genre d'exercice on demande à l'élève de prouver que la suite converge en passant par une majoration (ou minoration ) et donc par le "théorème de convergence monotone" et parfois il est même mentionné "on ne demande pas de calculer sa limite".
    Puis avec une suite associée on calcule sa limite.

    Rien de tout ça ici et j'attends toujours une justification qui me satisfasse concernant la pertinence d'écrire au début de la phrase: "Démontrer que la suite $(l_n)$ est convergente".
  • Bonjour damdam,
    peux-tu me dire comment tu calcules la limite de $(l_n)$ ?
    LP
  • 12 ans déjà que le bouquin de Borde est sorti...je vais bientôt avoir un dentier si ça continue. Sinon je trouve l'exercice 1 intéressant dans son thème, c'est bien d'évoquer à mots couverts le cosinus hyperbolique. Je n'ai pas regardé l'exercice de proba et ai à peine survolé celui de géométrie. C'est quand même plus motivant que de passer deux heures à tracer des p****** de courbes paramétrées (19 ans après j'en veux encore aux concepteurs de mon sujet de bac, oui j'ai la rancune tenace).
  • Bonsoir,
    n'y aurait-il pas une erreur dans l'exercice de spécialité ?
  • LP écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1669874,1670372#msg-1670372
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    -1<q<1 donc d'après le cours, $\lim q^n =0$ (voir dans le programme officiel: "Comportement à l’infini de la suite (q^n), q étant un nombre réel").
    Puis par somme et par quotient , $\lim l_n=\ldots$
    Donc $(l_n)$ est une suite convergente car elle admet une limite.

    PS: ça sentait le coup fourré du style "tu calcules une limite sans avoir démontré que ta suite est convergente" mais ici on n'est pas au CAPES ou à l'agrégation.
    Le comportement de $q^n$ à l'infini est un attendu du programme. On ne me retirera pas l'idée qu'on fait calculer une limite, pas qu'on doit montrer que la suite est convergente d'abord (je suis un peu borné :))
  • Bon, l'exercice de proba est noté sur 4 points, ce qui fait qu'on est noté sur 16 en ne le faisant pas. Ca me semble honnête.
  • Les changements de variable sont quand même classiques en TS, par exemple dans le chapitre sur les nombres complexes (polynôme pair de degré 4, c'est tombé au bac il y a pas si longtemps). Enfin bref faut quand même pas exagérer... Et c'était pas une question bloquante. Franchement demander à des TS de transformer un tableau de signe d'une dérivée (d'une fonction du 2nd degré !) en tableau de variations... Même les sujets de ES ou STMG étaient plus difficiles à ce niveau-là.
  • Le programme donne les grandes lignes... tu prends n'importe quel manuel de Pemière S ou de Terminale et tu trouveras des changements de variables du type $X=x^2$ (équation bi-carrée en 1ère S), $X=\cos \theta$ ou $X=\sin \theta$ (équations trigonométriques), $X=e^x$ ...

    Concernant la suite $(l_n)$, il suffit de dire que, pour tout entier naturel $n$, $l_n=\dfrac{4}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}-\dfrac{4}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$. Or, la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$ est convergente puisque $-1<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$. Donc, par somme et produit, la suite $(ln)$ converge.

    Il est vrai que ça ne m'aurait pas choqué de calculer la limite pour en déduire qu'elle était convergente.
  • Pour moi, ton "Puis par somme [...], lim $ln=...$ " est une forme abrégée d'un théorème qui dit que si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites convergeant respectivement vers $\ell$ et $\ell'$ alors la suite $(u_n+v_n)$ converge et $\lim (u_n+v_n)=\lim u_n + \lim v_n$.

    Ce qui me chagrine plus dans ce sujet, c'est la résolution de $f'(x)=0$ suivi du tableau de variation alors qu'on passe notre temps à leur dire que le fait que la dérivée s'annule ne donne pas nécessairement un changement de variation.
    Et dans la dernière question de l'exercice 1, pourquoi donc chercher le double de la solution de blabla... Sachant qu'on ne sait absolument pas d'où sort le $39$, pourquoi ne pas avoir directement mis $78$??
  • Je trouve quand même un peu vachard de faire passer une épreuve de maths à 8h le lendemain de la fête de la musique. Il serait bon que celle-ci ait lieu une fois les épreuves du bac terminé. Même les lycéens sérieux qui n'y auront pas participé peuvent avoir été gênés par une nuit écourtée par le niveau sonore, alors faire passer la plus grosse épreuve le lendemain, qui plus est en fin de semaine, n'est pas très sympathique. La réforme du bac permettra peut-être d'éviter cela.
  • LP écrivait:
    > Pour moi, ton "Puis par somme [...], lim $ln=...$
    > " est une forme abrégée d'un théorème qui dit
    > que si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites
    > convergeant respectivement vers $\ell$ et $\ell'$
    > alors la suite $(u_n+v_n)$ converge et $\lim
    > (u_n+v_n)=\lim u_n + \lim v_n$.

    Et donc, en particulier, si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites
    convergentes alors la suite $(u_n+k.v_n)$ converge.


    > Ce qui me chagrine plus dans ce sujet, c'est la
    > résolution de $f'(x)=0$ suivi du tableau de
    > variation alors qu'on passe notre temps à leur
    > dire que le fait que la dérivée s'annule ne
    > donne pas nécessairement un changement de
    > variation.

    D'accord avec toi mais le tableau de signes de $f'(x)$ est donné (pas seulement la solution de $f'(x)=0$ !) donc je ne comprends pas trop ton soucis.

    > Et dans la dernière question de l'exercice 1,
    > pourquoi donc chercher le double de la solution de
    > blabla... Sachant qu'on ne sait absolument pas
    > d'où sort le $39$, pourquoi ne pas avoir
    > directement mis $78$??

    Vu qu'on est dans une situation réelle (Gateway Arch) , il n'y a pas peut-être trop le choix si on veut retomber sur la bonne valeur.
  • Bonne nuit,

    Sylvain, faut pas pousser.
    Tant que t'y es, faudrait aussi peut-être harmoniser les dates de bac et celles de la coupe du monde de foot ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Non, la coupe du monde de foot, je serais prêt à payer pour qu'elle disparaisse à jamais.
  • Sylvain a écrit:
    Je trouve quand même un peu vachard de faire passer une épreuve de maths à 8h le lendemain de la fête de la musique

    Après la défaite de la musique, la défaite des mathématiques......
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Pour les antireligieux comme moi, la musique a un sens spirituel certain. Comme les maths.
  • Je ne sais pas si les teufers que j'ai croisés au bois de Vincennes le lendemain matin de la fête de la musique avaient des préoccupations spirituelles (la spiritualité implique une certaine culture et ce qu'on voyait: moitiés de crânes rasés, tee-shirts et vêtements repoussants, gros haut parleurs installés diffusant leurs boom! boom! boom!, individus dans le coma étendus dans l'herbe, bref un beau spectacle de la déchéance et de la barbarie humaine).
  • Bien d'accord avec Sylvain sur le calendrier, d'autant plus que celui-ci est extrêmement étalé avec une épreuve par jour alors qu'en tassant un peu (ex : SVT-SI le mardi après-midi et maths le mercredi matin), on pourrait se contenter de 4 jours d'épreuve, comme quand je l'ai passé il y a 10 ans, de sorte que tout serait fini depuis hier soir.

    Pour le sujet en lui-même, sous des apparences un peu relevées, sa lecture approfondie montre qu'il n'a pas grand chose d'extraordinaire si ce n'est (horreur et damnation !) que quelques questions demandent un peu de réflexion (si peu) aux élèves ou qui sont simplement présentées de façon un peu inhabituelle pour eux. Comme ceux-ci sont habitués à ne faire que recracher plus ou moins bien des réponses types (on a même vu plus haut un prof sous-entendre que le programme devait prescrire des exercices types : on croit rêver !), c'est panique à bord, comme quasiment tous les ans. On voit des élèves se plaindre sur Twitter, j'y ai même lu un prof expliquer que l'exo 4 de non-spé était partiellement hors programme, c'est dire !

    Bref, je ne serais pas étonné que les copies soient notées sur 25 parce que c'était "trop dur" (sic)...
  • gambitro a écrit:
    Quand à l'exercice de spécialité, je ne pense pas qu'il ait été bien réussi. Je trouve aussi que certaines questions étaient "mal" posées.
    Par exemple, on aurait pu faire remarquer aux élèves que, pour tout entier x>1, x^2 est puissant. Cela aurait permis de simplifier la question avec x^2-1 et x^2 dans la partie B.

    B)3) Soit $x,y\in\mathbb N$ tels que $x^2-8y^2=1$.
    Alors $x^2-1=y^2\times 2^3$ et $x^2=x^2\times 1^3$ sont puissants d'après la question précédente.

    Cette partie B) me semble tout à fait "bien" posée.
  • @Ramon : Regardons un des sujets du bac C 1988 [ici].

    La partie A) du problème reste dans les limites du programme actuel, comporte 11 questions dont 5 avec une indication ! Il semble donc qu'on mâchait autant le travail demandé aux élèves en 1988 que de nos jours.
  • @gai requin

    La partie A du problème nécessite une maîtrise correcte des inégalités....et ce n'est vraiment pas dans l'air du temps....Si on posait cela en 2018, ce serait un carnage....
    Ne parlons même pas de la partie B....
    Les deux exercices produiraient probablement le même effet.

    Si tu enseignes en TS, pose donc la partie A du problème en DS l'année prochaine. Je serais curieux de voir les résultats d'une telle expérience...

    Quant au bac 2018, je maitiens qu'il est rase moquette....et pourtant il est considéré comme trop difficile par de nombreux candidats.
    Liberté, égalité, choucroute.
  • Mon petit commentaire : dans l'exo de spécialité, les matrices sont un pur gadget. La seule compétence attendue à propos de celles-ci est de savoir calculer le produit d'une matrice 2x2 par une colonne. Il n'y avait aucune difficulté à reformuler l'exercice sans écrire la moindre matrice.
  • @paf : je ne suis pas du tout d'accord sur le fait de "tasser" le calendrier, eu égard aux élèves handicapés qui bénéficient d'un aménagement d'examen. Avec le calendrier de cette année (trop tassé à mon gout), certains se sont retrouvés à manger en 30 minutes (et encore, je néglige le temps pour sortir du centre d'examen, pour rejoindre un lieu pour déjeuner et le temps pour revenir au centre d'examen ; je néglige aussi le quart d'heure d'avance que doivent avoir les candidats).
    Je ne dis pas qu'il faut davantage de journées mais isoler les épreuves longues sur une journée et coupler les épreuves courtes me semblerait être un bon début.
    Je suis d'accord sur la difficulté de la toute dernière question du sujet "obligatoire".
    Dans la question 6 de l'exercice 1 concernant la hauteur du Gateway Arch, il est demandé "un encadrement de la hauteur" sans plus de précision sur l'amplitude de cet encadrement. Je suppose donc qu'un candidat qui répond "entre 0 mètre et 500 mètre " aura tous les points...

    Leisio
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