Matrice nilpotente

Light*
Light*
dans Algèbre
Bonjour à toutes et à tous,

Je voulais savoir si ce genre de matrice pouvait être nilpotente :
$$\begin{pmatrix}
a & b \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} $$
avec $a$ et $b$ complexes. Cela concerne les suites récurrentes du style $u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$, donc pas de "oui pour $a=0$ et $b=0$ !" :p

PS: Je pense que $a$ et $b$ doivent être réels et $a^2<4b$ sinon elle est diagonalisable, mais j'ai préféré mettre complexes pour être sûr !

Merci :)

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    Si \(A\) est nilpotente, sa seule valeur propre est 0, donc sa trace et son déterminant sont nuls, soit :
    \begin{align}\mathrm{tr}(A)&=a=0&\det(A)&=-b=0\end{align}

    Il est facile de vérifier, réciproquement, que si \(a\) et \(b\) sont nuls, alors \(A\) est nilpotente.
  • Light*
    Light*
    Mais oui ! Suis-je bête.

    Merci !
  • zorg69
    zorg69
    On peut aussi dire que cette matrice est nilpotente d'indice 2 si et seulement si tr(A)=tr(A²)=0.
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Bonjour!

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