Convergence d'un produit de suites de N

ArtyB · May 2018

Bonjour
Comment résoudre les deux questions suivantes ?

Soit $z \in K$ avec $K$ un compact de $D(0,1)$. On a $\sup |z|=\max|z|=r \leq 1$
1. Démontrer que : $$\Big\|\frac{z^n}{1-z^n}\Big\|_\infty\leq \frac{r^n}{1-r}$$
2. Puis que $\sum\limits_{n\geq 1}a_n\dfrac{z^n}{1-z^n}$ converge normalement sur $D(0,1)$ avec $\sum\limits_{n\geq1} a_n$ suite de nombres complexes convergente.

Où j'en suis pour le moment:
1. On a $$ \Big\|\frac{z^n}{1-z^n}\Big\|_\infty=\sup|\frac{z^n}{1-z^n}|$$ mais ensuite je ne sais pas comment montrer la majoration.
2. On utilise la question précédente et en notant $C=\sup|a_n| < + \infty$ on a : $$
\sum_{n\geq1}a_n\frac{z^n}{1-z^n}\leq C \sum \frac{r^n}{1-r}\quad ?
$$ Cela ne me semble pas juste car la somme d'un produit est différente du produit des sommes...

[Conformément à la charte, pas de titre en majuscule. AD]

rakam · May 2018

Enoncé à corriger :
Sérieux problème si $r=1$ !
Tu confonds suite et série !

1. Minorer $|1-z^n|$ est facile.
2. Je ne vois pas de produit de sommes et le dernier terme de ta comparaison est dans un ensemble inconnu, donc sans relation d'ordre.

zorg69 · May 2018

D'autant plus que z est dans un compact inclus dans un disque unité ouvert; le max de IzI ne peut qu'être strictement inférieur à 1.A partir de là, tu peux aisément résoudre l'exercice.

D.a_hakim · May 2018

Pour $z \leq \max |z|=r <1$ on a
$1-z^n \geq 1-r \Rightarrow \min|1-z^n| \geq |1-r| \Rightarrow \max \left| \frac{1}{|1-z^n|} \right| \leq \frac{1}{|1-r| } \Rightarrow \max\left| \frac{z^n}{|1-z^n|}\right| \leq \frac{r^n}{|1-r| }$

rakam · May 2018

$n\mapsto a_n$ étant une suite de complexes je ne vois comment on peut placer $a_n$ dans une inégalité.

énoncé bizarre : si la série $\sum a_n$ est convergente un majorant de la suite $n\mapsto a_n$ (qui converge vers 0) peut être un élément arbitraire de $\R_+^*$. Je pense que c'est la suite qui est convergente ou peut-être simplement bornée.

On demande de montrer la convergence normale : cela ne se fait pas avec les sommes (partielles ou non).

D.a_hakim · May 2018

@rakam Vous avez raison monsieur, j'ai pas fait attention

on peut conclure la convergence de la série d'après la première majoration et le test de Dirichlet, pour la convergence normal je me suis bloqué!

rakam · May 2018

Que veut dire "convergence normale" d'une série ?

D.a_hakim · May 2018

@rakam je vois pas pourquoi cette question de cette façon sans explications mais quand même voila ce que veut dire la convergence normale

rakam · May 2018

Merci mais je savais déjà.
Ne vois-tu pas que si tu ne sais pas écrire simplement ce que veut dire "convergence normale de la série $\sum a_n\dfrac{z^n}{1-z^n}$ " tu ne pourras jamais faire l'exercice ?

L'énoncé (question 2.) est une caricature parce qu'il majore des choses qui n'existent pas et, même en y mettant des sommes partielles, cette inégalité n'a rien à voir avec la convergence normale.

Et quand tu dis qu'on peut obtenir la convergence grâce à la première majoration (laquelle ?) je ne vois aucune démonstration de ta part.
Tu cites "Dirichlet" et là, c'est une vraie question, que veux-tu dire ?

D.a_hakim · May 2018

@rakam Merci vos explications,
Quand j'ai dit qu'on peut conclure la convergence de la série d'après la première majoration et le test de Dirichlet, je parlais de la convergence simple

Convergence d'un produit de suites de N

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