Petite confirmation

Playa
Playa
dans Analyse
Bonjour,

Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ convexe dérivable sur $\mathbb{R}$ et admettant une dérivée seconde uniquement en $t_0$.
Pouvez-vous me confirmer que $f''(t_0) \geq 0$?
Logiquement $f'$ est croissante sur $\mathbb{R}$ donc $f''(t_0)$ sera positive !

Merci.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Playa

    Peux-tu donner un exemple de "$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ convexe
    dérivable sur $\mathbb{R}$ et admettant une dérivée seconde uniquement en $t_0$"
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Playa
    Playa
    @gebrane :
    Merci pour l'intéret.
    Non je ne peux pas. En fait je voulais dire : pas forcement deux fois dérivables partout car dans ce cas c'est connu que $f" \geq 0$.
  • Anas Mourahib
    Anas Mourahib
    Vous pouvez travailler dans le voisinage de To, f est convexe sur ce voisinage, alors f'' dans ce voisinage est positive, i.e positive en To.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quelle est la définition de $f''(t_0)$ ?
  • Playa
    Playa
    Voilà ma preuve.
    $f'$ est croissante donc par définition, $f''(t_0)=\lim\limits_{t \to t_0} \frac{f'(t)-f'(t_0)}{t-t_0}$ est positive.
    Pour moi, c'est correct. Je veux juste, si c'est possible, une petite confirmation. Merci d'avance.
    Je précise qu'on n'a pas dans l'énoncé que f est deux fois dérivable sur toute la droite réelle (qui est un cas classique connu même en Terminale)
  • Poirot
    Poirot
    Ce n'est pas par définition que l'on obtient que cette quantité est positive. Comment peux-tu traduire la croissance de $f'$ pour dire quelque chose sur le taux d'accroissement $\frac{f'(t)-f'(t_0)}{t-t_0}$ ?
  • Playa
    Playa
    @Poirot : Merci pour votre réponse.
    En distinguant les cas.
    Si $t<t_0$ alors $f'(t) \leq f'(t_0)$.
    Si $t>t_0$ alors $f'(t) \geq f'(t_0)$.
    Dans les deux cas, le taux d'accroissement est positif. D'où sa limite également.
  • Poirot
    Poirot
    C'est ça :-)
  • Playa
    Playa
    @Poirot : Merci bien.
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