Justification passage

Playa
Playa
dans Analyse
Bonjour,

Soit $E \subset \mathbb{R}^n$ et $a \in int(conv(E))$ (conv est l'enveloppe convexe et int est l'intérieur topologique).
Quelqu'un peut-il m'aider à justifier pourquoi il existe un ensemble fini $A \subset E$ tel que : $a \in int(conv(A))$.

J'ai pensé à utiliser Krein-Millman en dimension finie ... je n'y arrive pas. Je ne sais pas si c'est la bonne piste.

Merci d'avance.

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    Dans \(\R^n\), il est loisible de travailler avec la norme d'indice infinie.
    Il existe une boule ouverte, de centre \(a\), de rayon \(r\) non nul, contenue dans \(conv(E)\).
    Il suffit de prendre pour \(A\) les points extrémaux de la boule fermée de centre \(a\) et de rayon \(r\).
  • Playa
    Playa
    @gb : Merci beaucoup.
    Par contre, comment justifier que $A \subset E$?
  • gb
    gb
    Ah oui, j'avais zappé cette inclusion.
    Chacun des points extrémaux \(s\) de la boule fermée de centre \(a\) et de rayon \(r/2\) appartient à l'intérieur de \(conv(E)\), donc à \(conv(E)\) : \(s\) est barycentre d'un sous ensemble fini \(E_s\) de points de \(E\).
    En prenant pour \(A\) la réunion des \(E_s\), on obtient ce que l'on veut.
  • Playa
    Playa
    @gb : ça marche très bien. Merci infiniment.
    Remarquons aussi que le nombre de points extrémaux de la boule unité (norme infinie) est $2^n$. Visuellement, c'est évident.
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