Paradoxe des deux enfants

Bonjour,

Tel un marronnier avec le printemps, le paradoxe de la "famille aux deux enfants" revient régulièrement sur le forum !
Dans la page Wikipedia qui lui est consacrée, on peut lire ceci à la fin de l'article :

Jean-Paul Delahaye propose de déterminer la probabilité que deux enfants soient des filles sachant qu'il y a au moins une fille prénommée Sophie parmi eux. L'hypothèse implicite selon laquelle les deux enfants n'ont pas le même prénom revient alors à particulariser Sophie, ce qui entraîne que la probabilité cherchée vaut 1/2.

Il me semble que cette dernière affirmation est dénuée de tout fondement. Il est pourtant clair que cette probabilité dépend essentiellement de la manière dont on choisit les prénoms, des coutumes et des traditions qui influencent, voire régissent ce genre de choix dans une société donnée. Imaginons une tribu dans laquelle on ne donne jamais le prénom "Sophie" à un second enfant, la probabilité est naturellement 1/2. Ou une autre dans laquelle on ne donne ce prénom qu'à une deuxième fille, la probabilité passe à 1. Ou encore une troisième où l'on ne donne ce prénom à une fille que si elle a déjà un frère, la probabilité tombe à zéro.
J'aurais été intéressé de lire ce qu'en dit Delahaye. Malheureusement, il a écrit dans un ancien "Pour la science" qui m'est inaccessible. Qu'en pensez-vous ?

En attendant et pour m'amuser, je vous propose une modélisation qui me semble raisonnablement réaliste. J'imagine une société relativement homogène linguistiquement et de traditions langagières suffisamment stables pour que la notion de fréquence d'un prénom ait un sens.

Je choisis donc comme univers $\Omega $ = { g, s, f }²
g pour garçon, s pour Sophie, f pour fille prénommée autrement.

L'événement "le premier enfant est un garçon" est G₁ = { g } × { g, s, f }
L'événement "le premier enfant est une fille" est F₁ = { s, f } × { g, s, f }
L'événement "le premier enfant est une fille prénommée Sophie" est S₁ = { s } × { g, s, f }

L'événement "le deuxième enfant est un garçon" est G₂ = { g ,s,f} × { g, }
L'événement "le deuxième enfant est une fille" est F₂ = { g, s, f } × { s, f }
L'événement "le deuxième enfant est une fille prénommée Sophie" est S₂ = { g, s, f } × { g }

Je note AB pour A $\cap$ B. Les hypothèses générales sont (j'ignore délibérément la problématique des jumeaux, de la surreprésentation des filles, etc):

p (F₁ ) = 1/2
p (F₂ ) = 1/2
p (S₁ S₂ ) = 0

Les hypothèses d'indépendance sont :

p (F₂ | G₁ ) = p (F₂ )
p (F₂ | F₁ ) = p (F₂ )
p (F₂ | S₁ ) = p (F₂ )

J'introduis la probabilité $\alpha $ du choix de "Sophie" comme premier prénom féminin et la probabilité $\beta $ du choix de "Sophie" comme deuxième prénom féminin.

p (S₁ | F₁ ) = $\alpha $
p (S₂ | G₁ F₂ ) = $\alpha $
p (S₂ | F₁ F₂ \ S₁ F₂ ) = $\beta $

On a alors

p (S₁ F₁ ) / p (F₁ ) = $\alpha $
p (S₁ ) = $\alpha $ /2

p (S₂ G₁ F₂ ) / p (G₁ F₂ ) = $\alpha $
p (S₂ G₁ ) = $\alpha $/4

p ( S₂ (F₁ F₂ \ S₁ F₂) ) / p ( F₁ F₂ \ S₁ F₂) = $\beta $
p (S₂ F₁ \ S₁ S₂ ) = p (S₂ F₁ ) = $\beta $(1/4 - $\alpha $/4) = $\beta $/4 - ($\alpha\beta$)/4

p (S₂ ) = p (S₂ G₁ U S₂ F₁ ) = $\alpha $/4 + $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4

Finalement, la probabilité cherchée, h, qu'une famille de deux enfants dont une fille qui s'appelle Sophie ait deux filles est :

h = p ( F₁ F₂ | S₁ U S₂ ) = p ( S₁ F₂ U F₁ S₂ ) / p (S₁ U S₂ ) =

( $\alpha $/4+ $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4) / ( $\alpha $/2+ $\alpha$/4 + $\beta $/4 - ($\alpha\beta $)/4

h = ($\alpha $ + $\beta $ - $\alpha\beta $) / (3$\alpha $ + $ \beta $ - $\alpha\beta $)

En faisant $\alpha $ = $\beta $ (on choisit le prénom "Sophie" avec la même fréquence pour la première fille que pour la seconde (avec un autre prénom pour la première, naturellement)) , on a h = (2 - $\alpha$)/(4 - $\alpha $). On voit que h varie de 1/3 ($\alpha $ = 1) à 1/2 ($\alpha $ proche de 0), ce qui confirme l'intuition :

Si $\alpha$ = 1, les familles équiprobables GG, GF, FG FF sont GG, GS, SG SF, d'où le 1/3.
Si $\alpha $ est proche de 0, les (peu nombreuses) familles GF qui sont des GS sont en même nombre que les familles FG qui sont des SG, alors que les familles FF qui sont des SF ou des FS sont deux fois plus nombreuses, d'où le 1/2.

Par ailleurs, si l'on revient au cas général, et qu'on fait $\alpha $ = 0, on a h = 1 (les "Sophie" sont une deuxième fille).
Enfin, si $\beta $ = 0, h = 1/3 (les GS, SG, SF restent dans les mêmes proportions que les GF, FG, FG, FF.

Quelqu'un aurait-il l'amabilité de vérifier la correction de mes calculs ? Merci d'avance.