Interversion limite-intégrale

Bonsoir

Soient $X:=C([0,1])$ (muni de la norme infinie) , $f \in C^1(\mathbb{R})$ et $g, h \in X$.
Comment justifier l’interversion limite (quand $h$ tend vers $0$) intégrale dans l'expression suivante ? $$
\int^{1}_{0} \frac{f\big(g(t)+h(t)\big)-f\big(g(t)\big)-f'\big(g(t)\big)h(t)}{\| h\|_{\infty}} dt.
$$ On a bien sûr la convergence simple du numérateurs vers $0$ mais ça ne permet pas l’interversion.

Merci.