element grouplike, primitif, Hopf

$\Delta(exp(x))=\sum_n\frac{\Delta(x^n)}{n!}$
$\Delta(exp(x))=\sum_n\frac{\Delta(x)^n}{n!}$

Maintenant $\Delta(x)^n=(x\otimes1+1\otimes x)^n
=\sum_{k+l=n}C_n^kx^k\otimes x^l$

Donc $\Delta(exp(x))=\sum_{k,l}\frac{C_{k+l}^k}{(k+l)!}x^k\otimes x^l$

Et alors $\Delta(exp(x))=\sum_{k,l}\frac{x^k\otimes x^l}{k!l!}
=exp(x)\otimes exp(x)$.

Sinon j'ai deux petites précisions :
1) on exige en général que $y$ soit également inversible pour qu'il soit group-like.
2) $exp(x)$ n'est pas toujours définit. Quand $H$ est nilpotente (ou pronilpotente) ça marche quel que soit $x\in H$.

De rien de rien

Je viens de retrouver comment on démontre que $\Delta(x)=x\otimes x$ implique que $x$ est inversible. Alors :

d'abord on commence par montrer que $\epsilon(x)=1$ (où $\epsilon$ est la counité de $H$) :
- on sait que $(\epsilon\otimes id)\circ\Delta=id$ (c'est un axiome pour les algèbres de Hopf), et on applique bêtement à $x$ :
$\epsilon(x)x=x$, et donc $\epsilon(x)=1$.
- on sait également que $m\circ(S\otimes id)\circ\Delta=m\circ(id\otimes S)\circ\Delta=\eta\circ\epsilon$ (c'est encore un axiome), où $S$ est l'antipode de $H$ et $\eta$ l'unité :
$xS(x)=S(x)x=1$.

et voilà ...

Je l'ai retrouvée tout seul comme un grand :-)

Si tu as d'autres questions sur les algèbres de Hopf n'hésite pas.

Au fait, tu es en DEA pour t'intéresser à ce sujet ?

Bonjour,

comment déduit-on de $\varepsilon(x)x = x$ que $\varepsilon(x) = 1$. Est-ce que toute algèbre de Hopf est intègre?

Merci d'avance

YB

"Je suis en maîtrise math, ca fait partie de mon mémoire sur la série de Hausdorff!"

kushi, est-ce que je peux te demander qui est ton tuteur de mémoire ?