Convergence d'une série

AlphaNico
AlphaNico
dans Analyse
Bonsoir,

J'ai trouvé dans un fascicule l'exercice suivant :
" Sachant que $\Gamma(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi}x^{x-\frac{1}{2}} e^{-x}$, déterminer la nature des séries $\sum \Gamma \left( n+\frac{1}{4} \right) \frac{i^{n}}{n!}$ et $\sum \Gamma \left( n+\frac{1}{4} \right) \frac{(-i)^{n}}{n!}$."

Si j'utilise l'équivalent proposé, je trouve (sauf erreur) :
$$ \frac{\Gamma \left( n+\frac{1}{4} \right)}{n!} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{n^{3/4}} $$
mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider à conclure sachant que deux suites équivalentes, lorsqu'elles ne sont pas positives, ne donnent pas nécessairement des séries de même nature...

Quelqu'un aurait-il plus d'idées que moi ?

Merci beaucoup,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • aléa
    aléa
    Chercher un équivalent de $u_n+u_{n+2}$ ?
  • marsup
    marsup
    Que sommes-nous censés savoir ??? (que signifie "sachant que" ?)

    On a le droit d'utiliser que $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)$, voire tout le reste de la définition et des propriétés ?

    Ou bien s'agit-il de montrer l'énoncé à l'aveugle pour n'importe quelle suite
    $(u_n)$ à la place de $\Gamma(n+\frac{1}{4})$, pourvu que $u_n \sim $(stirling) ?
  • AlphaNico
    AlphaNico
    Bonsoir Marsup,

    J'imagine que le "sachant que" donne une information supplémentaire à rajouter à toutes celles classiques concernant la fonction $\Gamma$, notamment celle $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ que tu cites...

    En tous cas, c'est comme cela que je comprends cette indication...
  • marsup
    marsup
    Ah oui, parce que bien sûr, la formule de Stirling c'est pas assez "classique" ?

    Bon, j'arrète de parler pour ne rien dire.

    Ne peut-on pas appliquer le critère d'Abel :

    si $\sum_{k} a_k$ est bornée
    $b_n$ décroissante vers 0

    alors $\sum a_n \cdot b_n$ converge ?
  • AlphaNico
    AlphaNico
    La formule de Stirling est effectivement un résultat classique que j'ai d'ailleurs utilisé dans l'équivalent que je propose au tout début. Mais l'équivalent de $\Gamma(x)$ qui est fourni, ce n'est pas tout à fait la même chose que la formule de Stirling, non ?
  • marsup
    marsup
    Bon, moi, c'est pas forcément le nom qu'on donne à telle ou telle chose qui me passionne le plus, mais là en l'occurrence, quelle appellation proposes tu pour cet équivalent de $\Gamma(x)$, qui retourne, pour $x \in \N^*$, $x \to \infty$, la formule de Stirling, expression équivalente, qui, rappelons-le, est entièrement transcendante et ne dépend absolument pas du caractère entier (ou non) de $x$ ???

    Pour continuer à troller, on peut rajouter : $\Gamma(x)$, qui, pour mémoire, est le seul prolongement raisonnable, par Bohr-Mollerup de $(n-1)!$, (et qui se trouve être une fonction méromorphe)...
  • AlphaNico
    AlphaNico
    Bon, Marsup : ne tournons pas autour du pot !

    J'ai posé une question précise, avec, il me semble des hypothèses raisonnables, et je n'ai pas demandé qui avait inventé la formule de Stirling, si elle était équivalente à l'équivalent de $\Gamma(x)$, si elle dépendait ou pas du caractère entier de $x$, de $n$, de l'axiome du choix, si le lemme de Zorn ou l'hypothèse de Riemann généralisée avaient un rapport avec tout ça ! Bref, Troller ne m'intéresse pas !

    En revanche, ton idée de la transformation d'Abel est très intéressante, et je vais donc explorer la piste : merci !
  • aléa
    aléa
    En fait le critère spécial des séries alternées suffit, en séparant parties réelles et imaginaires.
  • marsup
    marsup
    Bon, je suis content que tu aies remarqué que j'ai quand même répondu à la question. :-)

    Je suis à peu près sûr que le critère que je donne montre la convergence de la série, nombres complexes ou non !

    voir ici

    D'ailleurs, j'ai l'impression que ça marche pareil, pour $\theta \in \R$, si $\cos(\theta) \neq 1$, pour
    $\displaystyle \sum \Gamma\Big(n+\frac{1}{4}\Big) \cdot \frac{\mathrm e^{in\theta}}{n!}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    J'ai plutôt l'impression que c'est justement cette égalité $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)$ qui est utile, pour prouver que la suite $q_n=\dfrac{\Gamma \big( n+\frac{1}{4} \big)}{n!} $ est décroissante et tend vers $0$. Les suites $(\pm i)^n$ étant à sommes bornées, on applique le théorème d'Abel, et l'on conclut.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_par_parties
    http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_15.html
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • marsup
    marsup
    Oui, d'accord avec toi Chaurien? Cette formule montre que la suite est décroissante.

    Reste à montrer que c'est vers 0 ; c'est par Stirling (faut-il que je rajoute "généralisée", sous peine de me faire lyncher ?!)
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Marsup
    Soit donc $ \displaystyle q_{n}=\frac{\Gamma (n+\frac{1}{4})}{n!}$. Pour $ \displaystyle n\geq 1$ on a : $\displaystyle q_{n}=\frac{\Gamma (n+\frac{1}{4})}{n!}=\frac{(n-\frac{3}{4})\Gamma (n-\frac{3}{4})}{n\cdot (n-1)!}=(1-\frac{3}{4n})q_{n-1}$.
    Ce qui prouve déjà que la suite $q_n$ est décroissante.

    Il en résulte de plus : $ \displaystyle q_{n}=q_{1} \overset{n}{\underset{k=2}{\prod }}(1-\frac{3}{4k})$, d'où : $ \displaystyle \ln q_{n}=\ln q_{1}+\overset{n}{\underset{k=2}{\sum }}\ln (1-\frac{3}{4k})$.
    La série de terme général $\ln(1- \frac 3{4n})$ est divergente, et comme ce terme général est négatif, il en résulte : $\ln q_{n}\rightarrow -\infty $, d'où : $q_{n}\rightarrow 0$.

    Maintenant, moi je suis d'accord pour qualifier de « généralisée » la formule de Stirling citée en tête de ce fil, la formule de Stirling stricto sensu étant pour moi la même mais pour $x$ entier positif. Et de toutes façons, les gens sensés refusent la loi de Lynch. Mais généralisée ou non, cette formule est inutile ici : encore un exo mal foutu.

    Bonne journée quoique maussade en ÎDF.
    Fr. Ch.
  • AlphaNico
    AlphaNico
    Merci à Alea, Chaurien et Marsup pour toutes ces indications...

    La méthode des séries alternées fonctionne, et cela m'a aussi permis de me replonger dans la
    transformation d'Abel.

    Bonne journée à tous,

    $\alpha$-Nico
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