Une condition sur $(x_j,y_j,s_j,t_j,u_j,v_j)$

Bonjour,

Posons $f_j(r)=(a_j+b_j r^2)\exp(-k_j r^2)$ et considérons l'opérateur $T(f)(r)=\partial^2_r f+\frac{1}{r}\partial_r f+r^2f$.

Si $a_j=x_j+ i y_j,\quad b_j=s_j+ i t_j $ et $k_j=u_j+ i v_j$ avec $i^2=-1$ $ (x_j,y_j,s_j,t_j,v_j)\in\Bbb{R}^5$ et $u_j>0$ pour tout $j\in\Bbb{N}$, par un calcul simple on obtient:

$T(f_j)(r)=\frac{1}{u^5}[(2y^2+2x^2)u^6+(-2ty-2sx)u^5+(8yvs-8xvt+4y^2v^2+4x^2v^2+2s^2+2t^2)u^4\\+(4sxv^2+4yv^2t)u^3\\+(-8xv^3t+8yv^3s+2xvt-2yvs+(1/8)x^2+(1/8)y^2+2y^2v^4+2x^2v^4-x^2v^2-y^2v^2+8s^2v^2\\+8t^2v^2-(1/2)s^2-(1/2)t^2)u^2\\+(6xv^4s+6yv^4t-3sxv^2-3yv^2t+(3/8)sx+(3/8)ty)u+(3/8)s^2+(3/8)t^2\\+6s^2v^4+6t^2v^4-3t^2v^2-3s^2v^2] \qquad (*)$

où $x=(x_j),\quad y=(y_j), s=(s_j),\dots$



Si je suppose de plus que $\int^\infty_0 \left|f_j\right|^2 rdr=1$, on obtient


$$\frac{1}{8u^3_j}[2y^2_ju^2_j+2x^2_ju^2_j+2s_jx_ju_j+2y_ju_jt_j+s^2_j+t^2_j]=1 \qquad (**)$$ pour tout $j\in\Bbb{N}$


Ma question: Je n'arrive pas à obtenir une condition sur $(x_j,y_j,s_j,t_j,u_j,v_j)$ pour que
$$\lim_{j\to\infty} \int^\infty_0 \left|\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\right|^2 rdr=0$$

Je serais très reconnaissant si vous me proposer des conditions sur les $((x_j,y_j,s_j,t_j,u_j,v_j)$, Merci