Référence lemme sur des séries

NM001
NM001
dans Analyse
Bonjour,

Je cherche une référence à propos d'un lemme :

Si on a $\sum a_nb_n <+\infty$, $\sum b_n = +\infty$, et que $(a_n)$ est décroissante, alors
$a_n = o(\frac{1}{\sum_{k=0}^n b_k})$.

Si quelqu'un connait un livre (idéalement en anglais) où ce lemme est démontré, ça serait super.

Merci d'avance !

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Ne faut-il pas supposer la suite $a$ positive tout de même ?

    Cordialement.
  • NM001
    NM001
    Ah si bien sur. Je ne regarde que des suites positives, et du coup ça m'a paru évident.
  • Dom
    Dom
    Ok, je m'en doutais un peu, je le reconnais.

    Je n'ai pas de source 8-)
    Du coup j'essaye de construire la mienne (:P)
    Je cherche à appliquer une sommation d'Abel, car les hypothèses semblent "y faire appel" mais sans succès ce soir...

    À plus tard.
  • Chaurien
    Chaurien
    La suite $b_n$ est réelle positive elle aussi ?
  • Dom
    Dom
    J'ai fait comme tel après « je ne regarde que des suites positives ».
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    On a par décroissance de la suite $a$ que pour tout $N\leq N'$ $$\sum_{k=N}^{N'}a_{k}b_{k}\geq a_{N'}\sum_{k=N}^{N'}b_{k}.$$ D'où l'on tire que $a$ tend vers $0$. On obtient alors que $$\limsup_{n\rightarrow +\infty} \left( a_{n}\sum_{k=0}^{n}b_{k} \right) \leq \sum_{k=N}^{+\infty}a_{k}b_{k}.$$ On conclut en faisant tendre $N$ vers l'infini.
  • Dom
    Dom
    Efficacité et concision.
    Bien joué !(tu)
  • NM001
    NM001
    Malheureusement je sais le démontrer, mais j'aimerais bien une référence.
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