Construction d'une suite

supspé
supspé
dans Analyse
Bonsoir.

Je veux construire une suite $(f_j)_{j\in\N}\in L^2(\R^+)\cap C^{\infty}(\R^+)$ telle que : $$
\lim_{j\to\infty}\int^\infty_0 \big(\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\big)^2 rdr=0 ,
$$ avec $$\int_{\R^+}|f_{j}(r)|^2 ( rdr)=1
$$ Merci pour toute suggestion quelle qu'elle soit.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Comme $f_j=0$ convient, je suppose que tu as d'autres contraintes.

    Cordialement.
  • supspé
    supspé
    Merci @gerard0. Bien sur $f\not=0$.
  • gerard0
    gerard0
    Pourquoi cette condition ad-hoc ?
    Car si elle était nécessaire au départ, tu as fait une grave erreur d'énoncé, et sinon, tu ne peux pas la rejeter.

    Autrement dit, tu ne sais pas encore vraiment ce que tu cherches, tu devrais repenser ta question.

    Par exemple, il existe une infinité de fonctions $f$ telles que $\partial^2_r f+\frac{1}{r}\partial_r f+r^2f = 0$; en prenant tes $f_j$ parmi celles-ci tu intègres toujours 0. Est-ce que c'est ce que tu veux ?

    Cordialement.
  • supspé
    supspé
    Merci @gerardi0. Il n'existe aucune $f\in L^2\cap\C^\infty$ solution de l'équation que tu m'as proposée. C'est la raison pour laquelle je voudrais chercher une suite vérifiant le truc en quetion.
  • gerard0
    gerard0
    Toujours cet oubli de la fonction nulle. solution de l'équation différentielle et dans $L^2\cap\C^\infty$

    Comme tu n'expliques pas la raison du rejet de cette fonction, tu risques de na pas avoir d'aide.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Allons gerard0, donnons lui un autre exemple. Tu prends
    $$f_n(x)=\frac 1ne^{-nx}$$ ("Je n'aime" pas tes notations avec le $r$ et le $j$)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • supspé
    supspé
    Merci @gebrane. Je vais vérifier ton exemple.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ...Gebrane ... il y a un problème en 0.

    Par contre, avec $\displaystyle f_n(x)=\frac 1ne^{-nx^2}$, ça marche.

    Cordialement.
  • supspé
    supspé
    oui ton exemple marche bien @gerard, celui de @gebrane non. Peut on trouver un autre avec $\lim_n ||f_n||\not=0$.

    Merci infiniment.
  • gebrane
    gebrane
    Pourquoi non? lol je n'ai pas vu le carré!
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • gerard0
    gerard0
    Edit : Pour Supspé.

    Ah ! enfin, tu commences à dire ce que tu voudrais (pourquoi l'avoir caché ?)
  • gerard0
    gerard0
    Gebrane,

    ta fonction donne une intégrale divergente en 0. A cause du terme en $\frac 1 r$.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    oui gerard0,je viens de constater le carré
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • supspé
    supspé
    Bonjour.
    Peut-on trouver une suite $(f_j)_{j\in\Bbb{N}}\in L^2(\Bbb{R^+})\cap C^{\infty}(\Bbb{R^+})$ telle que : $$
    \lim_{j\to\infty}\int^\infty_0 \big(\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\big)^2 rdr=0$$ et $$ \sqrt{\int_{\Bbb{R^+}}|f_j(r)|^2rdr}=1 .
    $$ Merci pour toute suggestion.

    [Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
  • Dom
    Dom
    Si je puis me permettre, n'est-ce pas le prolongement de : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1585266 ?
  • gerard0
    gerard0
    Supspé,

    on aimerait que tu proposes toi-même des réponses (positives ou négatives) à tes questions, car ça ressemble de plus en plus à "faites mon travail, je me contente de compliquer la question...".

    Cordialement.
  • supspé
    supspé
    gerard0, j'ai déjà construit un exemple ($f_{j}(x)=\exp(\frac{1}{j^2x^2-1}),\quad |x|<1/j$ et 0 sinon. Mais je n'ai pas arrivé à constuire un exemple vériant l'hpothèse. Tu m'as déjà proposé une méthode et je t'ai répondu qu ça va pas marcher vu des choses techniques.

    Donc je dis et prèsume qu'une telle n'existe pas. Sinon, si vous pouvez le construire sous la condition $$ \int_{\R^+}|f_j (r)|^2rdr=1$$ je serais très très reconnaissant.

    Très Cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Décidément, tu donnes tes explications au compte-goutte. ce n'est pas respectueux de ceux qui ont essayé de t'aider.

    Ciao !
  • gebrane
    gebrane
    Essaie avec $f_n(x)=\frac cn e^{-\frac{x^2}{n^2}} dx$ avec $c>0$ choisir
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Dom
    Dom
    Une coquille ?
    La formule de la norme égale à 1 possède un $rdr$ dans l'intégrande, qui n'était pas présent au message précédent.

    Cela dit, je ne cherche pas beaucoup...
  • gebrane
    gebrane
    mon exemple se réfère à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1585266,1587224#msg-1587224
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • supspé
    supspé
    Merci @gerbrane pour ton exemple, je vais le vérifier.
    @gerard. Mes respects pour toi, je t'ai juste dit mes tentatives.
  • supspé
    supspé
    ou bien peut on montrer le non-existence d'une telle suite.

    le poids de l'intégration étant $rdr$.

    Merci infiniment.
  • gebrane
    gebrane
    Ce n'est pas gentil de ne pas vérifier la justesse des exemples qu'on te propose!
    "ou bien attends-tu que gerard0 le fasse pour toi ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • supspé
    supspé
    @gebrane, ton exemple ne marche plus. MErci
  • supspé
    supspé
    une autre @gebrane.

    Pour moi il n'existe aucune suite vérifiant le truc.
  • gerard0
    gerard0
    Soit tu as une preuve, et ce n'est pas seulement "pour toi", soit c'est une affirmation sans fondement, qui n'a aucune valeur mathématique. Donc il te reste à chercher à étayer cette affirmation en fabriquant une preuve. C'est en la construisant que tu trouveras peut-être la confirmation que tu te trompes et le moyen de construire un contre exemple. Ou inversement, en construisant des essais de contre-exemples, tu trouveras comment obtenir la preuve de ton affirmation.
    C'est cela l'activité de recherche en mathématique. Comme c'est toi qui es intéressé à ce sujet, c'est à toi de faire le travail.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Il me semble que tu as changé l'enoncé avec un rdr au lieu de dr
    Tu considères alors $f_n(x)=\frac 2{\sqrt n} e^{\frac{-x^2} n}$ on a bien $\int_{\R^+}|f_n (x)|^2xdx=1$ et il me semble aussi que $\lim_{n\to\infty}\int^\infty_0 \big( f''_n+\frac{1}{x} f'_n+x^2f_n\big)^2 xdx=0$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • supspé
    supspé
    @gebrane . Non plus:-)
  • supspé
    supspé
    Voici un exemple d'une suite $$f_j(r)=2^{\tfrac 1 4}\exp\left(-\tfrac{1+i\left( 1+\frac{1}{j} \right)}{2\sqrt{2}}r^2\right)$$

    Vérfiant les hypothèses.
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