Construction d'une suite
Bonsoir.
Je veux construire une suite $(f_j)_{j\in\N}\in L^2(\R^+)\cap C^{\infty}(\R^+)$ telle que : $$
\lim_{j\to\infty}\int^\infty_0 \big(\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\big)^2 rdr=0 ,
$$ avec $$\int_{\R^+}|f_{j}(r)|^2 ( rdr)=1
$$ Merci pour toute suggestion quelle qu'elle soit.
Je veux construire une suite $(f_j)_{j\in\N}\in L^2(\R^+)\cap C^{\infty}(\R^+)$ telle que : $$
\lim_{j\to\infty}\int^\infty_0 \big(\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\big)^2 rdr=0 ,
$$ avec $$\int_{\R^+}|f_{j}(r)|^2 ( rdr)=1
$$ Merci pour toute suggestion quelle qu'elle soit.
Réponses
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Bonjour.
Comme $f_j=0$ convient, je suppose que tu as d'autres contraintes.
Cordialement. -
Pourquoi cette condition ad-hoc ?
Car si elle était nécessaire au départ, tu as fait une grave erreur d'énoncé, et sinon, tu ne peux pas la rejeter.
Autrement dit, tu ne sais pas encore vraiment ce que tu cherches, tu devrais repenser ta question.
Par exemple, il existe une infinité de fonctions $f$ telles que $\partial^2_r f+\frac{1}{r}\partial_r f+r^2f = 0$; en prenant tes $f_j$ parmi celles-ci tu intègres toujours 0. Est-ce que c'est ce que tu veux ?
Cordialement. -
Toujours cet oubli de la fonction nulle. solution de l'équation différentielle et dans $L^2\cap\C^\infty$
Comme tu n'expliques pas la raison du rejet de cette fonction, tu risques de na pas avoir d'aide.
Cordialement. -
Allons gerard0, donnons lui un autre exemple. Tu prends
$$f_n(x)=\frac 1ne^{-nx}$$ ("Je n'aime" pas tes notations avec le $r$ et le $j$)Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Heu ...Gebrane ... il y a un problème en 0.
Par contre, avec $\displaystyle f_n(x)=\frac 1ne^{-nx^2}$, ça marche.
Cordialement. -
Pourquoi non? lol je n'ai pas vu le carré!Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Edit : Pour Supspé.
Ah ! enfin, tu commences à dire ce que tu voudrais (pourquoi l'avoir caché ?) -
Gebrane,
ta fonction donne une intégrale divergente en 0. A cause du terme en $\frac 1 r$.
Cordialement. -
oui gerard0,je viens de constater le carréLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonjour.
Peut-on trouver une suite $(f_j)_{j\in\Bbb{N}}\in L^2(\Bbb{R^+})\cap C^{\infty}(\Bbb{R^+})$ telle que : $$
\lim_{j\to\infty}\int^\infty_0 \big(\partial^2_r f_j+\frac{1}{r}\partial_r f_j+r^2f_j\big)^2 rdr=0$$ et $$ \sqrt{\int_{\Bbb{R^+}}|f_j(r)|^2rdr}=1 .
$$ Merci pour toute suggestion.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD] -
Si je puis me permettre, n'est-ce pas le prolongement de : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1585266 ?
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Supspé,
on aimerait que tu proposes toi-même des réponses (positives ou négatives) à tes questions, car ça ressemble de plus en plus à "faites mon travail, je me contente de compliquer la question...".
Cordialement. -
gerard0, j'ai déjà construit un exemple ($f_{j}(x)=\exp(\frac{1}{j^2x^2-1}),\quad |x|<1/j$ et 0 sinon. Mais je n'ai pas arrivé à constuire un exemple vériant l'hpothèse. Tu m'as déjà proposé une méthode et je t'ai répondu qu ça va pas marcher vu des choses techniques.
Donc je dis et prèsume qu'une telle n'existe pas. Sinon, si vous pouvez le construire sous la condition $$ \int_{\R^+}|f_j (r)|^2rdr=1$$ je serais très très reconnaissant.
Très Cordialement. -
Décidément, tu donnes tes explications au compte-goutte. ce n'est pas respectueux de ceux qui ont essayé de t'aider.
Ciao ! -
Essaie avec $f_n(x)=\frac cn e^{-\frac{x^2}{n^2}} dx$ avec $c>0$ choisirLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Une coquille ?
La formule de la norme égale à 1 possède un $rdr$ dans l'intégrande, qui n'était pas présent au message précédent.
Cela dit, je ne cherche pas beaucoup... -
mon exemple se réfère à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1585266,1587224#msg-1587224Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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ou bien peut on montrer le non-existence d'une telle suite.
le poids de l'intégration étant $rdr$.
Merci infiniment. -
Ce n'est pas gentil de ne pas vérifier la justesse des exemples qu'on te propose!
"ou bien attends-tu que gerard0 le fasse pour toi ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Soit tu as une preuve, et ce n'est pas seulement "pour toi", soit c'est une affirmation sans fondement, qui n'a aucune valeur mathématique. Donc il te reste à chercher à étayer cette affirmation en fabriquant une preuve. C'est en la construisant que tu trouveras peut-être la confirmation que tu te trompes et le moyen de construire un contre exemple. Ou inversement, en construisant des essais de contre-exemples, tu trouveras comment obtenir la preuve de ton affirmation.
C'est cela l'activité de recherche en mathématique. Comme c'est toi qui es intéressé à ce sujet, c'est à toi de faire le travail.
Cordialement. -
Il me semble que tu as changé l'enoncé avec un rdr au lieu de dr
Tu considères alors $f_n(x)=\frac 2{\sqrt n} e^{\frac{-x^2} n}$ on a bien $\int_{\R^+}|f_n (x)|^2xdx=1$ et il me semble aussi que $\lim_{n\to\infty}\int^\infty_0 \big( f''_n+\frac{1}{x} f'_n+x^2f_n\big)^2 xdx=0$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Voici un exemple d'une suite $$f_j(r)=2^{\tfrac 1 4}\exp\left(-\tfrac{1+i\left( 1+\frac{1}{j} \right)}{2\sqrt{2}}r^2\right)$$
Vérfiant les hypothèses.
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Bonjour!
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