convergence dans $L^2$.
Bonsoir.
J'identifie $(R^2,dxdy)$ par $[0,\infty[\times[0,2\pi],rdr\times d\theta)$ et je considère une base $(f_m)_{m\in\Z}$ de $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ où
$$f_{m}(r\theta)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}e^{-\frac{r^2}{2} } e^{- i m\theta}$$.
Soit $T=i\partial_{\theta}$, par un calcul simple on a: $T(f_m)=mf_m$.
Soit $u_j$ une suite de $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ telle que $ T(u_j)\in L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ et vérifiant: $ (T-m)(u_j) $ converge vers 0 dans $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$.
Je veux montrer qu en fait on a : $T(u_j)=m u_j$.
Merci infiniment.
J'identifie $(R^2,dxdy)$ par $[0,\infty[\times[0,2\pi],rdr\times d\theta)$ et je considère une base $(f_m)_{m\in\Z}$ de $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ où
$$f_{m}(r\theta)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}e^{-\frac{r^2}{2} } e^{- i m\theta}$$.
Soit $T=i\partial_{\theta}$, par un calcul simple on a: $T(f_m)=mf_m$.
Soit $u_j$ une suite de $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ telle que $ T(u_j)\in L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ et vérifiant: $ (T-m)(u_j) $ converge vers 0 dans $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$.
Je veux montrer qu en fait on a : $T(u_j)=m u_j$.
Merci infiniment.
Réponses
-
?
1) Tu veux sans doute dire $f(re^{i\theta})$
2) Les $f_m$ ne sont pas assez nombreux pour former une base.
3) Si $u_j=f_m+\frac{1}{j}f_0$ alors $Tu_j\neq u_j.$ -
Merci@P. Tu as raison.
Pour le $1$ j'ai voulu écrire $f(re^{i\theta})$, pour le $2$ la famille $(f_m)$ n'est pas une base. Merci pour l'exemple 3.
Ma question Peut-on construire une $f_n$ telle que:
1)$f_n$ converge faiblement vers $0$.
2)$||f_n||=1$.
3)$||(i\partial_{\theta} -m)f_n||\to 0$ quand $n$ tend vers $\infty$. -
$\partial_{\theta}-m $? ou plutot $i\partial_{\theta}-m $?
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