convergence dans $L^2$.

Bonsoir.

J'identifie $(R^2,dxdy)$ par $[0,\infty[\times[0,2\pi],rdr\times d\theta)$ et je considère une base $(f_m)_{m\in\Z}$ de $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ où
$$f_{m}(r\theta)=\frac{1}{\sqrt(2\pi)}e^{-\frac{r^2}{2} } e^{- i m\theta}$$.

Soit $T=i\partial_{\theta}$, par un calcul simple on a: $T(f_m)=mf_m$.

Soit $u_j$ une suite de $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ telle que $ T(u_j)\in L^2(R^2, rdr\times d\theta)$ et vérifiant: $ (T-m)(u_j) $ converge vers 0 dans $L^2(R^2, rdr\times d\theta)$.

Je veux montrer qu en fait on a : $T(u_j)=m u_j$.

Merci infiniment.

Réponses

  • ?
    1) Tu veux sans doute dire $f(re^{i\theta})$
    2) Les $f_m$ ne sont pas assez nombreux pour former une base.
    3) Si $u_j=f_m+\frac{1}{j}f_0$ alors $Tu_j\neq u_j.$
  • Merci@P. Tu as raison.

    Pour le $1$ j'ai voulu écrire $f(re^{i\theta})$, pour le $2$ la famille $(f_m)$ n'est pas une base. Merci pour l'exemple 3.

    Ma question Peut-on construire une $f_n$ telle que:

    1)$f_n$ converge faiblement vers $0$.

    2)$||f_n||=1$.

    3)$||(i\partial_{\theta} -m)f_n||\to 0$ quand $n$ tend vers $\infty$.
  • $\partial_{\theta}-m $? ou plutot $i\partial_{\theta}-m $?
  • J ai corrigé le truc @P. Merci
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