Forme indéterminée ?

bluepix
bluepix
dans Analyse
Bonjour,

Je me pose une question toute simple :

La limite en + l'infini de 1^x est elle une forme indéterminée ?

Merci par avance !

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi est-ce que ça le serait ? Ta fonction est constante égale à $1$ donc tend vers $1$ en $+\infty$. Le terme forme indéterminée est plutôt réservé à des passages abusifs à la limite dans des quotients "donnant" $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Combien vaut $1^x$ pour x>0 ?

    Cordialement.
  • bluepix
    bluepix
    Oui c'est bien ce que je pensais donc lim 1^x = 1 n'est ce pas ?
  • gerard0
    gerard0
    Faut-il vraiment répondre à cette question ? Tu n'es pas capable de conclure seul ?
  • Kito
    Kito
    Salut Bluepix,

    Tu as raison. $1^\infty$ est bien une forme inderminee qui se ramène à la forme $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

    Si par example $\lim f(x)=1$ et $\lim g(x)=\infty$ alors $\lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}}=e^{\lim \frac{g(x)}{1/\ln f(x)}}$.
  • Poirot
    Poirot
    @Kito : c'est ce que j'appellerais chercher des formes indéterminées là où il n'y en a pas ! Même blague : quelle est la limite en $+\infty$ de $x \mapsto \frac{1}{x}$ ? Réponse : c'est une forme indéterminée car pour $x > 0, \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2}$, donc la limite est de la forme $\frac{+\infty}{+\infty}$.
  • gerard0
    gerard0
    Kito,

    tu as mal lu le message de Bluepix, qui a oublié de simplifier sa fonction.

    Cordialement.
  • acetonik
    acetonik
    Bonjour,

    Pour la question posée , comme déjà dit:
    $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1^x = 1$

    Mais $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(1+\dfrac{1}{x})^x=e $
    Ce cas étant parfois présenté en tant que forme indéterminée $1^\infty$ où la base tend vers $1$ et l'exposant tend vers l'infini.
    ...et c'était peut être ce cas ( mal présenté) qui était la vraie question posée...

    Cordialement
    Le zéro crée des difficultés comme le vide donne le vertige
  • gerard0
    gerard0
    Difficile de ne pas répondre à la question telle qu'elle est posée; d'autant que classiquement on utilise la "forme indéterminée" $1^{\infty}$.
    Mais il est raisonnable de remplacer $1^x$ par sa valeur $1$ quand on s'interroge à son propos :-)

    Cordialement.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je pense que c'est Kito qui a raison (à ceci près qu'en français on écrit exemple, prière de corriger, merci).

    Traditionnellement dans la liste des formes indéterminées exponentielles, on a : $ 0 ^0$, $ \infty ^0$, $1^ \infty $, qui en passant au log se transforment en $ \infty \times 0$. Bien sûr ce n'est pas un calcul c'est juste une sorte d'étiquette indiquant que si $u(x) \rightarrow 1 $ et $v(x) \rightarrow \infty $ et si l'on ne sait rien de plus, alors on ne peut rien dire sur la limite de $u(x)^{v(x)}$.

    Cette forme indéterminée est sans doute la plus dangereuse car spontanément l'élève peu réfléchi aura tendance à penser que si $u(x) \rightarrow 1 $, alors toute puissance de $u(x) $ aura pour limite $1$. J'ai encore vu ça il y a encore deux ans en colle en math spé pour $(1+ \frac xn)^n$. Si l'on a un doute le mieux est de passer au log pour retrouver la bonne vieille forme indéterminée, clairement indéterminée : $ \infty \times 0$.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Kito
    Kito
    Pourtant, j'ai bien lu le message. Chaurien a donné plus de détails.
  • Poirot
    Poirot
    Il y a quand même une nuance entre faire attention aux formes indéterminées du style "$1^{+\infty}$" et voir qu'il n'y a trivialement besoin d'aucune analyse pour trouver la limite en question ici. Attention aux automatismes qui font perdre du temps. C'est comme quand on cherchait à savoir si la matrice $$\left(\begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0
    \end{array} \right)$$ est diagonalisable en calculant le polynôme caractéristique puis en cherchant la dimension de l'espace propre associé à $0$...
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    si on considère la fonction f définie par $f(x) = (u(x))^{v(x)}$ avec u(x) > 0
    lorsque u(x) tend vers 1 et v(x) tend vers + oo ou - oo

    alors la limite du logarithme népérien $ln(f(x)) = v(x).ln(u(x))$
    se présente bien à un signe près sous la forme indéterminée $\infty.0$

    on lève l'indétermination par les méthodes analytiques habituelles

    cordialement
  • Chaurien
    Chaurien
    Oui, c'est un peu ce que j'avais dit...
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