Inégalité opérateur

Posons $R=i(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})$ avec $i^2=-1$ et $H=- (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})-(x^2+y^2)$. Peut-on trouver une constante $c>0$ tq telle que : $$|| Hu||^2+||Ru||^2> c||u||^2 $$ avec $u\in D_{H}\cap D_{R} $, $D_{T}=\{u\in L^{2}(\Bbb{R}^2)\mid Tu\in L^{2}(\Bbb{R}^2)\}$
et $ ||u||=\int_{\Bbb{R}^2}u(x,y)\overline{u}(x,y)dxdy$.

Réponses

  • J'ai essayé de construire une suite normée telle que le membre droit tend vers $0$ pour trouver une contradiction mais en vain. Pouvez m'aider et merci
  • Bonjour,

    Tu n'as pas écrit ce qu'est l'opérateur $T.$ Est-ce une bonne idée de passer en coordonnées polaires ?
  • @ YvesM : dans l'écriture :
    supspé a écrit:
    $D_{T}=\{u\in L^{2}(\Bbb{R}^2)\mid Tu\in L^{2}(\Bbb{R}^2)\}$
    la « variable» \(T\) est muette. Cette égalité sert uniquement à définir \(D_H\) et \(D_R\).
  • Bonjour@YvesM. Comme le disait @gb, j'ai écrit $T$ pour définir son domaine $D_{T}$.
  • @YvesM. J'ai passer Je suis passé en coordonnées polaires mais vainement. Comme remarque, l'opérateur $R$ est nul sur les fonctions radiales.

    Les deux opérateurs $R$ et $H$ sont non inversibles.
  • Si j'arrive à montrer l'inégalité pour les fonctions tests à support compact. C'est fini
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