Que dire de ces normes?

Kito
Kito
dans Analyse
Bonjour,

Si j'ai deux normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ définies sur des fonctions, telles que
$\|f/g\|_1\ge \alpha \|f/g\|_2$ pour toutes fonctions $f,g$, $g\neq 0$, $\alpha$ est constante. Que peut on dire de ces normes et que peut on dire de $\|f\|_1$ et $\|f\|_2$?

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    tu ne dis pas quelles sont ces fonctions. Si ce sont des fonctions d'ensemble d'arrivée $\mathbb R$ou $\mathbb C$ (puisque tu divises, on peut le penser), prends g constante égale à 1.

    Cordialement.
  • math2
    math2
    Par $g\not=0$, sous-entends tu que $g$ ne s'annule jamais (parce que si tu sous entends simplement que $g$ n'est pas la fonction nulle, le quotient peut ne pas avoir de sens).


    Dans la suite, je comprends que tu l'appliques à toute fonction $g$ ne s'annulant jamais.

    On a bien entendu que $\|.\|_1 \geq \alpha \|.\|_2$ en prenant identiquement $g=1$, et réciproquement cette inégalité donne ta relation en l'appliquant ) $f/g$.

    Mais tu pensais sans doute au quotient des normes, non ?
  • Kito
    Kito
    $f, g:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$. $g$ ne peut pas prendre $0$ ou $1$. En fait, disons que $g$ et les normes sont dépendants.
  • gerard0
    gerard0
    Kito,

    ce n'est pas sérieux de rajouter maintenant que g ne peut pas prendre la valeur (constante) 1. Non seulement tu ne donnes pas un énoncé sérieux (tu n'as pas dit qui sont f et g), mais tu rajoutes des hypothèses ad hoc.
    Il y a encore plein d'autres façons de faire, mais je ne vais pas te donner l'occasion de rajouter des interdictions ad hoc, donc je garde pour moi tant que tu n'as pas donné un énoncé complet et définitif.
  • Kito
    Kito
    Gerard,

    Tu as raison. Quand j’écrivais la première fois, je n'y ai pas vraiment pensé. Désolé.
    Oublions le tout si c'est pas trop tard. Je m'excuse.
  • Tryss
    Tryss
    Quel est donc l'énoncé exact, précis et définitif?
  • Kito
    Kito
    La question concerne un article que j’écris couramment. La question n'est pas très claire dans ma tête d'abord. Mais c'est pas grave, je vais la raffiner et la poser plus tard.
  • Chaurien
    Chaurien
    C'est un article que tu écris actuellement ?
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