Aucune suite vérifiant:

Bonjour.

Soit $(a,m)\in \Bbb{R}\times\Bbb{Z}$. Posons $R=i(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})$ et $H=- (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})-\frac{1}{4}(x^2+y^2)$.
Je veux montrer qu'il n'existe aucune suite vérifiant :
0]-$Ru_n $ et $Hu_n$ sont dans $L^2(\Bbb{R}^2)$.

1]- $u_{n}\xrightarrow{Weakly} 0$
2]- $||u_n||=1, ~\forall n\in \Bbb{N}$.

3]- $\big(R- m) u_{n} \xrightarrow[n\to\infty]{L^2(\Bbb{R}^{2})} 0$.

4]- $\big(H- a) u_{n} \xrightarrow[n\to\infty]{L^2(\Bbb{R}^{2})} 0 $.

Merci infiniment.

Réponses

  • Bonjour,

    De quelle norme s'agit-il ?
  • Bonjour @Dom.
    C est la norme $||f||^2=\int_{ \Bbb{R }^2}|f(z)|^2 dz$
  • Mais $u_n$ dans $L^2(\mathbb{R}^2)$ ne suffit pas pour ton 3 et encore moins pour ton 4!?
  • @Amathoué. Tu as raison, regarder la condition 0.
  • L'opérateur $R$, il est auto adjoint et diagonalisable dans une base orthonormée $(\phi)_{p,q})_{(p,q)\in\N}$, de plus $$ R(\phi)_{p,q}=(p-q)(\phi)_{p,q}.
    $$ Pour tout $m\in \Z$, il existe $(p,q)\in\N$ tel que $m=n-p$, donc $$R(\phi_{n,p})=(n-p)\phi_{n,p}=m\phi_{n,p}.
    $$ Ainsi; $(R-m)\phi_{n,p})=0$, donc je peux prendre $u_n=\phi_{n,p}$ qui vérifie le 1,2 et 3 de l'hypothèse.

    Ma question: est ce que toute suite vérifiant le 1,2 et 3 est nécessairement de type $u_n=\phi_{n,p}$ ?
  • des idées...
  • Bonjour.

    Soit $(a,m)\in \Bbb{R}\times\Bbb{Z}$. Posons $R=i(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})$ et $H=- (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})-\frac{1}{4}(x^2+y^2)$.

    Je veux montrer qu'il n'existe aucune suite $(u_n)$ vérifiant :

    $Ru_n $ et $Hu_n$ sont dans $L^2(\Bbb{R}^2)$.

    $u_{n}\xrightarrow{faiblement} 0$

    $ ||u_n||_2=\int_{\R^2}u_n(x,y)\overline{u_n}(x,y)dxdy=1, ~\forall n\in \Bbb{N}$.

    $\big(R- m) u_{n} \xrightarrow[n\to\infty]{L^2(\Bbb{R}^{2})} 0$.

    $\big(H- a) u_{n} \xrightarrow[n\to\infty]{L^2(\Bbb{R}^{2})} 0 $.

    Merci infiniment.


    [Merci de rester dans le sujet que tu avais déjà ouvert. Poirot]
  • Des pistes SVP.
  • Une façon naturelle est de supposer que de telle suite existe et examiner tes hypothèses pour dégager une absurdité
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Oui @gebrane0, J'ai essayé vainement.
  • As-tu essayer avec $u_n (x,y)=\frac 1{\sqrt {\pi}n}$ si $||(x,y)||_2 \leq n$ et $u_n(x,y)=0$ sinon
    $(u_n)$ est norme 1 et converge faiblement vers 0 et me semble-il vérifie tes hypothèses

    edit Ah non ça marche pas, $(H-a)u_n$ ne converge pas fortement vers 0 dans L^2
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • ni même aussi pour la 2 ème.
  • @gebrane0, si tu en as autres, veuillez les proposer. Pour moi j'ai essayé avec une dizaine d'exemples.
  • Je prends $a=0$. Si tu peux démontrer que ton opérateur H est coercitif coercif c'est gagné, puisque dans ce cas $||u_n||\leq C||Hu_n||$ donc $u_n$ converge fortement dans L^2 ce qui contredit le fait que ...
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • l'opérateur en question n'est pas coercif.
  • pourquoi ces deux opérateurs sont non coercifs?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Merci, car les deux ne sont pas inversibles. Veuillez me dire encore autres pistes. Merci infiniment

    Espérons que @Remarque et @Neptune passent par ce fil.
  • Des idées SVP.
  • intouchable
  • Esperons avoir des reponses de la part un specialiste.
  • Je cherche des idées. si quelqu'un a des pistes, veuillez les poser.

    Merci
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