Banach et Banach-Steinhaus

</HEAD><BODY bgcolor="#ffffff"><BR>Bonjour , y a-t-il quelqun pour me donner un coup de pouce?<BR><BR>Voilà:<BR><BR>1) Soit E un normé. Montrer que est Banach ssi L(E) est Banach<BR>( L(E) est l'ensemble des endos continus de E)<BR><BR>2) Soit a = (an) une suite de nombres complexes tq qqst la suite bornée b= (bn) , la série sigma sur n des an * bn converge.<BR>Mq que sigma sur n des !an! cv.<BR><BR>»»»>on peut considérer le th de Banach-Steinhaus «««««««<<BR><BR>Merci de votre soutien précieux<BR><BR>Charles- Ed<BR><HR>

Réponses

  • <HTML></HEAD><BODY bgcolor="#ffffff">vite fait, la partie simple de tes questions:<BR>1) Si <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=1" ALT="$ E$"> est complet alors <!-- MATH $L(E)=L(E,E)$ --><IMG WIDTH="117" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=2" ALT="$ L(E)=L(E,E)$"> est complet par un théorème que tiu dois avoir dans ton cours.<BR>Pour la réciproque il doit falloir réfléchir un petit peu, en tout cas ça ne me saute pas aux yeux.<BR>2) Je ne crois pas qu'il y ait du Banach-Steinhaus là dedans: <BR>pour tout <IMG WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=3" ALT="$ n$"> on a <!-- MATH $a_n =r.e^{i. \theta}$ --><IMG WIDTH="76" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=4" ALT="$ a_n =r.e^{i. \theta}$"> avec <IMG WIDTH="59" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=5" ALT="$ r=\vert a_n\vert$">; posons <!-- MATH $b_n=e^{-i. \theta}$ --><IMG WIDTH="74" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=6" ALT="$ b_n=e^{-i. \theta}$">, qu'est-ce qu'on peut dire de <IMG WIDTH="20" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=7" ALT="$ b_n$">? de <IMG WIDTH="41" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15264&th=8" ALT="$ a_n . b_n$">?<BR><HR>
  • <HTML></HEAD><BODY bgcolor="#ffffff">Pour poursuivre sur la lancée de julien :<BR><BR><BR>1) Comme <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=1" ALT="$ E$"> est un espace normé, il existe une forme linéaire continue <IMG WIDTH="11" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=2" ALT="$ \ell $"> de norme 1. Pour tout vecteur <IMG WIDTH="44" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=3" ALT="$ v \in E$">, l'application <IMG WIDTH="21" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=4" ALT="$ T_{v} $"> de <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=1" ALT="$ E$"> dans <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=1" ALT="$ E$">, <!-- MATH $x \mapsto \ell (x)\,v$ --><IMG WIDTH="77" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=5" ALT="$ x \mapsto \ell (x)\,v$"> est linéaire continue de norme égale à <!-- MATH $\left\| {v} \right\|$ --><IMG WIDTH="28" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=6" ALT="$ \left\Vert {v} \right\Vert$">. L'application <!-- MATH $v \mapsto T_{v}$ --><IMG WIDTH="54" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=7" ALT="$ v \mapsto T_{v} $"> est une isométrie de <IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=1" ALT="$ E$"> sur un sous-espace fermé de <IMG WIDTH="40" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=8" ALT="$ L(E)$">.<BR><BR><BR>2) Sans Banach-Steinhaus, posons <!-- MATH $b_{n} :=\dfrac{\left| {a_{n} } \right|}{a_{n} }$ --><IMG WIDTH="75" HEIGHT="53" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=9" ALT="$ b_{n} :=\dfrac{\left\vert {a_{n} } \right\vert}{a_{n} }$"> si <!-- MATH $a_{n} \ne 0$ --><IMG WIDTH="50" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=10" ALT="$ a_{n} \ne 0$"> et <IMG WIDTH="53" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=11" ALT="$ b_{n} :=0$"> sinon. La suite <!-- MATH $\left( {b_{n} } \right)$ --><IMG WIDTH="32" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=12" ALT="$ \left( {b_{n} } \right)$"> est bornée. Par hypothèse, la série <!-- MATH $\sum\limits_{n} a_{n} \,b_{n} =\sum\limits_{n} \left| {a_{n} } \right|$ --><IMG WIDTH="125" HEIGHT="38" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=13" ALT="$ \sum\limits_{n} a_{n} \,b_{n} =\sum\limits_{n} \left\vert {a_{n} } \right\vert $"> converge.<BR><BR>Le résultat vaut encore si au lieu de bornée, la suite <!-- MATH $\left( {b_{n} } \right)$ --><IMG WIDTH="32" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=12" ALT="$ \left( {b_{n} } \right)$"> doit converger vers 0. Il suffit d'appliquer le théorème de Banach-Steinhaus (alias Principe de la Borne Uniforme) aux opérateurs "sommes partielles" : ces opérateurs forment une suite de <!-- MATH $\left( {c_{0} } \right)^{\prime }$ --><IMG WIDTH="35" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=14" ALT="$ \left( {c_{0} } \right)^{\prime } $"> qui converge simplement. Cette suite est simplement bornée donc est uniformément bornée sur les bornés de <IMG WIDTH="18" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=15" ALT="$ c_{0} $">. On retrouve ainsi que <!-- MATH $\left( {c_{0} } \right)^{\prime } =\ell ^{1}$ --><IMG WIDTH="70" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="thumb.php?dt=1&msg=15269&th=16" ALT="$ \left( {c_{0} } \right)^{\prime } =\ell ^{1} $">.<BR><HR>
  • <HTML></HEAD><BODY bgcolor="#ffffff">Bonsoir,<BR><BR>Je vous remercie pour les petites indications que vous m'avez données.<BR><BR>On a vu cet après midi avec la prof une correction qui utilisait Banach-Steinhaus ; c'était je pense dans un but de s'exercer à ce théorème .<BR><BR>Merci beaucoup en tous les cas.<BR><BR>Ch Ed<BR><BR><HR>
  • <HTML></HEAD><BODY bgcolor="#ffffff">Excuse, Charles-Edouard, pour mon indiscrétion : c'est où ta prépa agreg ?<BR>P.S. T'inquiète, en l'absence de réponse je ne t'en voudrai point...<BR><HR>
  • <HTML></HEAD><BODY bgcolor="#ffffff">aaargh je viens de passer une demi-heure pour trouver la preuve du résultat qui manquait, j'arrive tout fier de moi pour la taper et... Hyacinthe l'avait donnée avant même que je ne me remette à chercher!<BR>Je viens de griller des neurones pour rien, c'est un peu rageant quand même...<BR>Moralité: la prochaine fois je vérifierai si quelqu'un a répondu avant de réfléchir à une question...<BR><HR>
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