Prépa maintenant versus avant

hftmaths · August 2017

Salut,

Je suis actuellement en fin de MPSI et je serai dans un mois en MP*. Voulant mettre à profit mon été et approfondir mon cours, j'ai suivi les conseils de mon professeur en regardant des livres de la bibliographie qu'il nous a conseillée en début d'année (c'est ici pour info).

J'ai ainsi découvert la collection E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux - Cours de Mathématiques, Éditions Dunod (RDO) que j'ai vraiment adorée (j'ai pour l'instant regardé uniquement les tomes 1 (algèbre) et 3 (topologie et éléments d'analyse). Je pense être dans une des classes qui fait le plus de hors-programme en France et pourtant, ces cours vont beaucoup plus loin que les nôtres (n'ayant pas fait de spé, je compare uniquement avec certains chapitres). D'après la préface, ces livres couvrent le programme de prépa des années 1972 - 1988.

Mes questions sont les suivantes :

1) Est-ce que les élèves de cette époque suivaient vraiment ce programme ? Dès la sup ? Est-ce que ça durait deux ans ? Est-ce qu'ils avaient plus d'heures qu'aujourd'hui ?

2) J'ai l'impression, surtout pour l'analyse, que l'enseignement était à l'époque plus "rigoureux" si on peut dire, ou tout du moins plus "formel/algébriste" et paradoxalement, plus simple sous certains aspects (mais surtout plus intéressant !). Durant mon année de MPSI, j'ai largement préféré les chapitres d'algèbre aux chapitres d'analyse car je les trouvais plus "formels" et moins "faits à l'arrache" (*). Or, je me suis rendu compte que je préfère quasiment l'analyse à l'algèbre lorsqu'elle est enseignée comme dans les livres RDO. Cela est particulièrement vrai pour la façon dont sont présentés les concepts dans le chapitres 2 du tome 3 (espaces topologiques et espaces métriques). À l'opposé, je trouve qu'il n'y a quasiment pas d'écart entre mon cours et les RDO dans la façon de faire dans les chapitres d'algèbre. Ma question est donc : est-ce que je me fais des films ou est-ce qu'il y a eu un vrai changement dans l'enseignement de l'analyse en prépa ?

3) Toutes les notions présentées dans les RDO ne sont donc plus enseignées aujourd'hui en prépa. Je sais que c'est en particulier vrai pour la géométrie mais ma question concerne ici uniquement l'analyse et l'algèbre. Du coup, est-ce que cela est enseigné en L3 ou après ? Mais si tel est le cas, il y a par effet de vase communiquant, des notions autrefois enseignées en L3 ou après, qui ne sont aujourd'hui plus enseignées, non ? Du coup, est-ce stupide si je dis qu'en moyenne, les gens sortants indifféremment de BAC, prépa, L3, agreg, thèse, en connaissent moins que nos ancêtres d'il y a 20 ou 30 ans ?

4) Concernant les probabilités, est-ce que ça sert à quelque chose de les voir avant la L3 ? Si j'ai bien compris, les probas sont vues en L3 dans un cadre plus général que celui de la prépa avec la théorie de Lebesgue qui n'est pas vue en prépa. Est-ce qu'aujourd'hui, les gens qui finissent des études de maths en probas, sont meilleurs que nos ancêtres d'il y a 20 ou 30 ans ? Sinon, on se demande bien à quoi ça sert donc j'imagine que oui mais bon...

5) Ma dernière question est la suivante : pourquoi ne pas avoir gardé cet ancien programme pour la prépa, qui semble de bien meilleure qualité, quitte à enlever une grosse part de géométrie pour la remplacer par les probabilités actuelles ? Sauf erreur, ces cours ne sont pas beaucoup plus difficiles que ceux que j'ai eus cette année, ça repart à quasiment zéro si on prend le tome 1 et c'est accessible par un TS motivé par les maths.

(*) Je sais que c'est subjectif mais pour illustrer mes propos, cet avis est partagé par la tête de classe en maths et par ceux qui visent des ENS, donc qui a priori sont intéressés par les maths. Je parle ici uniquement de l'intérêt mathématique de la chose, il n'y a pas de notion de difficulté ici.

Merci par avance !

gerard0 · August 2017

Bonjour.

1) Les RDO sont une "bible", donc même à l'époque où ils ont été publiés, les élèves de prépa ne voyaient pas tout (les programmes étaient un peu moins "pointus"), mais il est vrai que les maths de lycée ayant été en grande partie sacrifiées, il n'est plus possible de faire le même programme. D'ailleurs, les 6 premiers mois de prépa servent essentiellement à voir ce qui se faisait autrefois en lycée.
2) Je ne suis pas prof de prépa. Vu de l'extérieur, effectivement, l'analyse est un peu sacrifiée (on en faisait pas mal en lycée). Et comme l'intuition géométrique n'est pas là (quasiment plus de géométrie en secondaire) ...
3) C'est très variable, il n'y a pas de "programme de licence". Mais les chercheurs ont en gros les mêmes capacités qu'avant, et les meilleurs à l'agreg le même niveau (mais à programme différent).
4) C'est une bonne chose d'apprendre des probas en collège, lycée et bac+1/+2. Ne serait-ce que pour avoir un sens à la théorie de la mesure (généralise intégration, mesurage et probas) et comprendre les enjeux (*).
5) Toutes les prépas ne sont pas comme la tienne. Si les prépas ne servaient qu'aux concours ENS et très grandes écoles d'ingénieurs (donc une petite dizaine) comme à mon époque, ce serait justifiable, avec 30% d'abandons dans les prépas secondaires. Ce n'est plus possible aujourd'hui où elles sont le principal lieu de formation scientifique après le bac (**), et où il faut faire réussir 99% des élèves.

(*) j'ai suivi au vingtième siècle un cours d'intégration imbuvable, le prof ne disant jamais pourquoi on traitait ces théorèmes, qui tous avaient un lien avec les probas (entre autres). A la grande époque de Bourbaki, il ne fallait pas parler des probas X:-(
(**) premier de ma terminale math-élem, ancêtre de la S spé maths, je ne suis pas allé en prépa, comme de nombreux autres : Je ne voulais pas être ingénieur, mais faire des maths. On en faisait plus en fac à l'époque, avec des étudiants de très bon niveau.

Héhéhé · August 2017

Oui effectivement les RDOs ne sont peut-être pas ultra représentatifs d'un cours standard de prépa d'il y a 30 ans, donc méfiance...

Mais il est clair que le contenu (bien faire attention que je parle de contenu et pas de niveau) a vraiment diminué depuis, à mon avis pour deux raisons.

La première c'est que la prépa a du s'adapter aux changements de la terminale S (et de toutes les classes précédentes). Quand maintenant il faut faire l'intégration par parties, les équa diff linéaires d'ordre 1 et 2 ou la dérivation des fonctions composées en prépa (qui étaient vues en TS avant), forcément on a moins de temps qu'avant.

La deuxième c'est qu'il y a beaucoup beaucoup plus de prépas qu'avant (souvent d'un niveau plus modeste), le programme a donc dû s'adapter. Je pense qu'il y a beaucoup plus de différences de niveau et de contenu entre les meilleurs prépas et les prépas modestes actuellement qu'il y a 30 ans...

Sinon pour ta question, oui ces notions sont maintenant vu en L3/M1, je pense qu'on arrive à rattraper le niveau pour les gens fort en maths, le plus problématique ce sont les personnes qui débarquent en école d'ingé avec des connaissances très (trop) légères, ce que j'ai pu constater quand j'ai enseigné dans une très bonne école d'ingé durant ma thèse. Pour les meilleurs (agrég thèse et tout) ça ne change à mon avis pas grand chose, c'est plus le niveau moyen dont il faut s'inquiéter...

On peut faire énormément de choses avec les probas de niveau prépa, il n'y a pas forcément besoin de l'intégrale de Lebesgue pour tout... Je pense que des notions de base en probas/stats (notamment pour détecter les conneries des médias à longueur de journée) doivent faire partie du bagage de tout ingénieur (et pas besoin de l'intégrale de Lebesgue pour ça !), ca me parait une bonne chose que ce soit maintenant au programme de prépa.

Poirot · August 2017

Je vais nuancer légèrement les propos concernant l'enseignement de la géométrie : je n'en ai pas fait, ni en prépa, ni en L3/M1. Je me suis senti bien bête au moment de préparer l'agreg !

christophe c · August 2017

Dans l'ordre : oui; oui; oui; non; ??

En résumé ce qui a énormément changé est l'exigence formelle (devenue très faible) d'où le sacrifice de l'analyse et une relative préservation de l'algèbre linéaire.

De mon téléphone

mojojojo · August 2017

est-ce stupide si je dis qu'en moyenne, les gens sortants indifféremment de BAC, prépa, L3, agreg, thèse, en connaissent moins que nos ancêtres d'il y a 20 ou 30 ans ?

Disons que c'est une question compliquée. Les programmes changent, certaines choses rentrent d'autres sortent, il est parfois difficile de comparer. Ensuite si tu veux vraiment essayer de faire une comparaison tu ferais mieux de te baser sur les programmes officiels de prépa plutôt que sur le contenu des bouquins. Mais là aussi la comparaison est délicate, je suppose qu'il y a aujourd'hui plus d'informatique et moins de dessin technique/épures qu'il y a 30 ou 50 ans.

Pour ce qui est de la sortie de la L3 c'est encore plus difficile à dire puisqu'il n'existe aucun programme officiel national de L3. Chaque fac fait comme elle l'entend et la L3 de l'ENS de Lyon n'a rien à voir (et c'est tant mieux !) avec la L3 d'une petite fac de province remplie d'étudiants qui veulent juste passer le Capes ou le concours d'instit.

Le programme de l'agreg a beaucoup changé aussi, je crois que le programme actuel est plus étendu qu'à d'autres périodes (distributions, théorie des représentations...) mais d'autres ici en savent plus que moi.

Et enfin pour la thèse... c'est encore très particulier, la thèse donne une connaissance très spécialisée sur un domaine à un moment donné, les techniques et les outils employés dans un domaine de recherche peuvent beaucoup varier en 30 ans, dire que les thésards actuels en savent moins ou plus que ceux d'il y a 30 ans n'aurait pas beaucoup de sens à mon avis.

4) Concernant les probabilités, est-ce que ça sert à quelque chose de les voir avant la L3 ? [...] Est-ce qu'aujourd'hui, les gens qui finissent des études de maths en probas, sont meilleurs que nos ancêtres d'il y a 20 ou 30 ans ? Sinon, on se demande bien à quoi ça sert

Oui c'est utile, ça donne une culture mathématique et cela permet de se familiariser avec les probabilités dans des cas simples. De la même façon qu'on enseigne l'intégrale de Riemann en long large et travers pendant les deux premières années avant de l'oublier presque totalement au profit de l'intégrale de Lebesgue dès la L3. Pas sûr que les gens qui font proba aujourd'hui soient "meilleurs" (dans quel sens ?) que ceux d'il y a 20 ans, mais ce n'est pas vraiment la question. Je ne pense pas que les chercheurs en géométrie algébrique ayant fait prépa il y a 20 ans soient meilleurs que les plus jeunes parce qu'ils ont étudié les coniques et quadriques en prépa.

Je sais que c'est subjectif mais pour illustrer mes propos, cet avis est partagé par la tête de classe en maths et par ceux qui visent des ENS,

La proportion d'une classe d'age allant en prépa augmente avec le temps si je ne dis pas de bêtises. Ce qui nécessite je suppose quelques concessions sur le programme. Mais ne t'en fais pas, tu auras tout de temps d'apprendre un énorme paquet de math une fois arrivé à la fac ou à l'ENS, si c'est ce qui t'amuses ;-)

hftmaths · August 2017

Merci pour toutes les réponses intéressantes !

En fait, c'est surtout l'analyse revue à la baisse en termes d'exigence qui m'a frappé et que vous semblez tous confirmer. Pourtant, naïvement, on pourrait penser que les prépas actuelles mettent le paquet dessus (contrairement à l'algèbre qui serait des "maths pour les maths"), car c'est a priori plus utile pour des futurs ingénieurs que les groupes, anneaux ou même l'algèbre linéaire. Même en physique ou en chimie en prépa, on voit bien que le peu de maths utilisé réside dans de l'analyse et des comparaisons d'ordre de grandeur, quasiment jamais d'algèbre. Alors que non, ce qu'il reste d'algèbre est préservé, mais l'analyse est maltraitée.

Je comprends que les probabilités vues en prépa et peut-être même avant donnent des armes au citoyen pour appréhender les phénomènes de la vie. Ma question était purement mathématique/académique : est-ce qu'avant, quand les gens ne faisaient pas de probas avant la L3 (disons qu'on les prend en sortie de M2), avaient une "moins bonne intuition probabiliste" que ceux d'aujourd'hui qui sortent de M2 en ayant fait en plus des probas L3-M1-M2, une pseudo initiation au lycée et une petite initiation en prépa ?

Un autre truc sur lequel j'ai peut-être tord. Sans aller dans l'excès, je ne pense pas qu'il soit systématiquement plus difficile de voir le cas général avant le cas particulier. Par exemple, je pense qu'il serait instructif de voir la topologie générale (espace topologique, notions générales sur la continuité etc) dès la sup, en voyant bien entendu en parallèle comment cela se traduit avec des $\epsilon$ dans $\mathbb R$ ou avec des patates dans le plan. Si on regarde, il n'y a rien de compliqué et ça pourrait être fait dès le début de l'année car on utilise essentiellement des opérations ensemblistes. Pour illustrer mon propos, voici un DS (c'est le deuxième problème) donné en début d'année dans ma prépa, qui montre que ces notions pourraient être vues en cours en septembre en MPSI. C'est parfois plus facile que le découpage astucieux des $\epsilon$ en plusieurs morceaux pour répondre à des questions de convergence. En fait, je n'ai pas de preuve (autre que mon ressenti personnel), mais je ne pense pas que le formel et l'abstrait impliquent la difficulté ou l'incompréhension, au contraire même.

gerard0 · August 2017

" c'est a priori plus utile pour des futurs ingénieurs que les groupes, anneaux ou même l'algèbre linéaire." ?? A priori, non, et les ingénieurs face à de nombreux problèmes les algébriseront (c'est ce qu'on fait quand on ramène une équadiff à un programme de calcul.

Pour les probas "d'avant L3", je rappelle que ce sont celles des mathématiciens avant 1930. Et ils n'étaient pas ignares.

" je ne pense pas qu'il soit systématiquement plus difficile de voir le cas général avant le cas particulier." C'est peut-être le cas pour toi, mais par expérience, je peux te dire que 90% des élèves ne comprennent rien aux généralisations hâtives. Et les lycéens français ont payé pendant des années ce genre d'idée mise en pratique à grande échelle.

Enfin on fait vraiment beaucoup de maths sans connaître la topologie générale, Euler, Laplace, Gauss, Hermite et bien d'autres n'en ont jamais entendu parler :-). Ne confonds pas "ça m'intéresse et je le trouve facile" avec "c'est utile".

Bonne chance pour la suite.

NB : A ton âge, Galois lisait les ouvrages les plus récents de mathématiques et s'ennuyait en cours. On n'a pas changé les programmes pour lui.

ev · August 2017

1) RDO n'est pas le programme. C'est une façon de traiter le programme.
En particulier les espaces vectoriels ne sont traités que comme cas particuliers de modules, ce qui déjà à l'époque était un peu fort de café.
Je ne suis pas sûr que R, D ou O aient suivi ce cours dans leurs classes.

De même, les exercices sont plutôt abrupts.

2) La rigueur dépend de l'enseignant et de son public. Rien ne prouve qu'il soit impossible d'être rigoureux de nos jours, y compris avec les bases flottantes acquises dans le secondaire.
À l'époque du RDO, il y avait des profs de prépa adeptes des démonstrations "tralala".
La rigueur est un état d'esprit.

3) Tout ce qui est dans le RDO peut s'enseigner. (Attention, il existe un tome du RDO qu'on peut jeter à la poubelle). Bien entendu, les étudiants qui sortent du secondaire ont fait une solide année de maths en moins qu'à l'heure du RDO, où il y avait neuf (9) heures de maths. Sans compter les quatorze (14) heures en maths-sup. Même en écrapoutissant les démonstrations, il est difficile de traiter tous les mêmes sujets.

4) Vaste débat. On ne peut comparer que ce qui est comparable, toutes choses égales par ailleurs.
Il s'agit d'un choix didactique important. Est-ce qu'on peut apprendre quelque chose avant d'avoir les moyens théoriques d'en comprendre les tenants et les aboutissants ?
Ce qui est vrai pour la bicyclette ne se transpose pas automatiquement pour les probabilités.
Désolé, pas d'avis sur la question.

5) Je n'en crois pas un seul mot. Livrer en pâture du RDO des étudiants de 2017
- qui ont fait un an de moins que ceux de 1986
- qui n'ont pas la culture de la rigueur
c'est un désastre pédagogique annoncé.
C'était déjà le cas en 1986 dans presque toutes les prépas...

Pour la disparition de la géométrie, je te conseille de regarder des sujets de centrale (épreuve 2) des années 70-80.

Bonnes vacances,

e.v.

aléa · August 2017

Pour ma part, je ne vois pas d'un trop mauvais oeil les probas de collège, même si je pense qu'il y aurait des priorités plus pressantes. En revanche, le programme de probas-stats (plus de stats, d'ailleurs) du lycée est une vraie catastrophe; il n'en reste rien. Pour le programme de proba en CPGE, il est bien écrit et ressemble assez à ce qu'on fait depuis longtemps à l'université. En revanche, je ne suis pas forcément super emballé par les sujets d'écrits, que je trouve parfois trop théoriques ou trop ambitieux.
Je trouve que cet enseignement de probas discrètes en deuxième année est assez judicieux et se marie bien avec les séries, même si il y a un risque que ce mariage pousse vers des choses un peu trop pointues.

Layouste · August 2017

Hello,
J'ai fait une prépa il y a 20 ans et obtenu l'école que je souhaitais, bien loin du niveau de l'X, centrale mines et ens. Je ne comprenais pas grand chose aux sujets, en math particulièrement. L'école suivie était en ingénierie aéronautique.
J'ai eu le capes de math en 2000. J'ai ensuite passé l'agrégation avec mon niveau prépa.
J'ai eu l'interne et ne suis pas allé aux oraux de l'externe mais j'ai eu 10 de moyenne aux écrits...en 2016 (barre à 5 !)
Quand on me parle de Lebesgue, c'est du chinois, théorie de Galois? Du pays de Galles?
Bref, ce n'est pas les programmes qui sont en cause mais le recul que l'on en a. Ce n'est pas la peine de voir Lebesgue et consort si à la moindre question de concours sur le thème on est déjà à l'ouest. Sur l'externe, première épreuve, de mémoire, 5 parties. Je ne comprends absolument rien aux 3 dernières. Je fais proprement les 2 premières et m'en sort avec 10.5.
Avec plus de recul encore, il suffit de comprendre le produit scalaire pour absorber les projections, Fourier et tout le Bataclan...plus on voit des cours, plus on comprend que l'on peut aborder les notions sous de multiples angles différents.
Au final, peut importe le contenu des programmes, il faut qu'ils servent la capacité à faire des maths. Et celui qui sait faire des maths sera meilleur que celui qui aura lu plein de chapitres de cours.

hftmaths · August 2017

Sauf qu'en raisonnant comme ça, on pourrait limite se contenter de faire uniquement de l'arithmétique et de la géométrie d'olympiade (donc niveau lycée, certes très difficile) pendant les deux ans de prépa. En effet, il est possible de nous occuper deux ans sur ces thèmes et de donner des exercices de niveau X/ENS en utilisant des notions basiques sur ces deux thèmes.

D'ailleurs, tout le monde dit que le programme de MPSI (et de MP) ne traite pas l'intégrale de Lebesgue. Mais personne ne semble s'offusquer qu'il ne traite pas non plus l'intégrale de Riemann :-)

hftmaths · August 2017

@aléa : est-ce que vous avez des exemples de choses pour vous trop théoriques ou pointues sur les probas de prépa ?

Héhéhé · August 2017

Détrompe-toi hftmaths, l'algèbre linéaire est sans doute de très très loin l'outil de maths qui sert le plus pour les ingénieurs, bien plus que l'analyse (avec un peu de stats également). En effet, l'immense majorité des problèmes que l'on veut calculer par ordinateur se réduisent à résoudre des systèmes linéaires, que ce soit pour résoudre des équations aux dérivées partielles, des problèmes d'optimisation, en recherche opérationnelle (la liste est encore très très longue).

Quand tu es ingénieur tu t'en fous que ta solution soit 3/2-holdérienne, ce qui t'intéresse est de pouvoir résoudre de manière efficace le système linéaire permettant de l'approcher !

aléa · August 2017

Le sujet de Centrale de cette année (2017) est un bon exemple de sujet trop théorique.

hftmaths · August 2017

@Héhéhé : merci pour cette précision. En fait, je me basais sur les maths utilisées dans le cours de physique de MPSI. Et là, c'est clairement : équations différentielles, comparaison d'ordres de grandeur sans écrire les O et o, études de fonction, développements limités cachés, calcul différentiel. Même quand on utilise les complexes, c'est pour faire du calcul analytique détourné. Si je voulais troller, je dirais que la physique de prépa c'est comme celle du lycée, avec du calcul en plus, mais toujours sans maths.

Poirot · August 2017

L'intégrale de Riemann n'est pas au programme de prépa ? Je me souviens l'avoir vue en sup, de manière rigoureuse, et c'était il y a six ans.

mojojojo · August 2017

Pour un autre exemple d'utilisation d'algèbre linéaire : la dérivée d'une fonction d'un espace vectoriel dans un autre est une application linéaire, la dérivée seconde est une application bilinéaire. Même en analyse l'algèbre linéaire et bilinéaire joue un rôle important.

hftmaths a écrit:

Mais personne ne semble s'offusquer qu'il ne traite pas non plus l'intégrale de Riemann

Qu'est-ce que tu veux dire par là ?

avaient une "moins bonne intuition probabiliste" que ceux d'aujourd'hui qui sortent de M2 en ayant fait en plus des probas L3-M1-M2, une pseudo initiation au lycée et une petite initiation en prépa ?

Pas sûr, mais ça leur aura sans doute facilité la vie en L3. L'autre intérêt (à mon avis) est aussi de faire découvrir les proba à un plus large publique et susciter des vocations/ne pas les écœurer d'un démarrage trop abrupte en L3.

je ne pense pas qu'il soit systématiquement plus difficile de voir le cas général avant le cas particulier. [...] Par exemple, je pense qu'il serait instructif de voir la topologie générale

Comme l'ont dit d'autre intervenants, c'est peut être ton avis mais certainement pas celui d'un bon nombre d'étudiants. Beaucoup d'étudiants on déjà du mal à comprendre comment faire une preuve avec des $\varepsilon$ et des $\delta$, l'apprentissage des filtres ne leur serait certainement pas bénéfique. D'ailleurs même à la fac on n'enseigne plus vraiment les filtres, mais c'est un autre sujet.

Héhéhé · August 2017

Dans mon souvenir on traite un sous-ensemble de l'intégrale de Riemann (on se limite aux fonctions continues par morceaux).

hftmaths · August 2017

Nous aussi on a vu l'intégrale de Riemann, mais c'est hors-programme et ça dépend du prof. Même à LLG, toutes les MPSI ne voient pas l'intégrale de Riemann. Le programme c'est l'intégrale des fonctions continues par morceaux !

Héhéhé · August 2017

Ce qui à mon avis est amplement suffisant.

Chalk · August 2017

Il me semble que l'intégrale à l'époque de Poirot n'est pas strictement un sous-ensemble de l'intégrale de Riemann. Par certains côtés elle est moins puissante que Riemann (intégrale des fonctions continues par morceaux uniquement), mais par d'autres elle est plus puissante (convergence dominée, convergence monotone, Fubini).

En tout cas c'est ce qu'on m'avait expliqué (et j'ai dû faire ma prépa à peu près en même temps que lui), même si c'est difficile de comparer tout ça vu qu'en plus certains théorèmes d'intégration sont admis.

Pour les probas, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer le cadre théorique adopté en prépas ? C'est de la grosse bidouille infâme ou ça ressemble quand même à quelque chose de sérieux ?

mojojojo · August 2017

skyffer a écrit:

plus puissante (convergence dominée, convergence monotone,

La convergence monotone/dominée à quand même des hypothèses "farfelues" du genre "la limite doit être continue par morceau". Je pense qu'en rajoutant "la limite est RI" on doit pouvoir retrouver les mêmes théorèmes avec l'intégrale de Riemann.

Chalk · August 2017

Oui, mais est-ce que la démonstration est "naturellement" faisable dans ce cadre, sans passer par Lebesgue ? Parce que si en réalité il faut Lebesgue pour démontrer tout ça naturellement (sans artifices foireux je veux dire), on peut bien dire que l'intégrale de prépa est un mix entre Riemann et Lebesgue. En tout cas c'est comme ça que un des profs que j'ai connus voyait les choses si j'avais bien compris.

christophe c · August 2017

De mon téléphone : je vais te soutenir hft. C'est un serpent de mer cette histoire de "les étudiants veulent du concret". Ce sont leurs profs qui en veulent et inventent des motifs pedago-historiques pour ça avant tout, ne t'inquiète pas trop. A leur décharge puisqu'ils veulent du concret il est tout à fait légitime qu'ils enseignent du concret ce n'est pas un reproche que je leur fais. Certaines personnes plus âgées utilisent souvent le prétexte (qui date de 50ans :-D et n'a plus rien à voir avec aujourd'hui) de la violence avec laquelle ont été ressenties la reforme dites "des maths modernes" . Mais comme elle n'a pas eu le temps d'être vraiment essayée et péché par le fait de vouloir tout présenter à des enfants de 11ans sous forme d'ensemble, on ne saura jamais comment elle aurait été amendée et stabilisée. On l'a immédiatement vouée à l'enfer et presque supprimé les maths dans la foulée. Tu connais le résultat en 2017 (en fait non tu es jeune :-D mais flemme de refaire ma phrase du téléphone )

Foys · August 2017

Poirot a écrit:

L'intégrale de Riemann n'est pas au programme de prépa ? Je me souviens l'avoir vue en sup, de manière rigoureuse, et c'était il y a six ans.

Il y a le programme et il y a ce que font les enseignants. Dans (par exemple) un "grand lycée parisien" la différence est importante.

Poirot · August 2017

Mea culpa, on avait fait la construction avec les fonctions étagées tout ça tout ça... Mais c'était certainement pour des fonctions continues par morceaux !

Chalk · August 2017

Ah oui dans ce cas c'était le programme classique, en tout cas on avait fait pareil. Mais il y a quelques théorèmes que vous n'avez probablement pas démontré non plus, genre convergence dominée, qui proviennent de Lebesgue a priori, et c'est ce qui me fait dire que cette intégrale a un statut à part, que justement ce prof dont je parle appelait "l'intégrale de prépa" 8-)

Je me permets juste de reposer ma question si jamais quelqu'un a la réponse :

skyffer3 a écrit:

Pour les probas, est-ce que quelqu'un peut m'expliquer le cadre théorique adopté en prépas ? C'est de la grosse bidouille infâme ou ça ressemble quand même à quelque chose de sérieux ?

aléa · August 2017

http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_1_MEN_ESR/42/4/MP-mathematiques_287424.pdf

Chalk · August 2017

Bof, ça m'emballe pas ... Je trouve que les probas perdent un peu de leur essence sans la théorie de la mesure.

Foys · August 2017

Le choix de faire l'intégration des fonctions réglées est naturel (ça doit être la construction d'une théorie de l'intégration la plus rapide). Quand j'étais étudiant c'est la première que j'avais vue.

Layouste · August 2017

Re-hello,
Je pense qu'il faut tout de même se rendre compte que les filières scientifiques ne sont plus aussi prisées qu'un temps et qu'il faut donc s'adapter aux étudiants d'aujourd'hui pour que les mathématiques en particulier restent sexy pour le plus grand nombre.
La suprême rigueur n'est pas la condition sine qua none d'un bon enseignement des mathématiques, avec une volonté de partir de rien et de tout construire proprement soporifiquement. Nul besoin d'avoir la démonstration d'un théorème pour en comprendre l'esprit et savoir l'utiliser à bon escient (ce qui tout de même le principal intérêt d'un théorême).
Les premières définitions de loi interne, associative, commutative, la distributivité sont bien assimilées grâce aux opérations d'addition et multiplication que l'on a découvert à l'école primaire sans aucun cadre théorique d'une construction proprette. De même la topologie s'assimile bien avec quelques figures de géométrie dans l'espace.

Foys · August 2017

Layouste a écrit:

il faut donc s'adapter aux étudiants d'aujourd'hui pour que les mathématiques en particulier restent sexy pour le plus grand nombre.

Je ne comprends pas cette manie de vouloir attirer les étudiants en désintellectualisant délibérément le contenu des matières.
Le caractère sexy des mathématiques réside dans la puissance de la généralité et la richesse conceptuelle des outils.
On préfère normalement les arguments courts, incisifs et généraux (le théorème de Cayley Hamilton démontré en mettant une structure de $K[X]$-module idoine sur le $K$-espace vectoriel $K^n$) au lieu de le remplacer par un étalage fouillis de calculs (ce qui n'est pas nécessairement plus simple à comprendre au passage, mais tellement plus spécifique et en particulier impossible à réutiliser ailleurs).

Pour calculer $56 \times 47$, fait-on $55$ additions successives? Non et quand on comprend ça on rentre dans l'esprit des mathématiques.

pldx1 · August 2017

Tout le monde voit qu'il suffit d'en faire $46$.

Et les personnes réellement compétentes voient qu'il suffit de faire $5+3=8$ tours de manivelle.

Layouste · August 2017

Disons que le sexy d'hier n'est pas celui d'aujourd'hui!
Et dispenser un cours dans un amphi vide c'est pas cela qui va perpétuer l'excellence française en mathématiques. J'ai quand même l'impression qu'on se la raconte pas mal et que cela va nous faire rater le coche de l'évolution nécessaire des enseignements.

paf · August 2017

Pour faire court : "l'évolution nécessaire des enseignements" comme tu dis, ça fait 20 ans que ça dure et on voit le résultat désastreux aujourd'hui, notamment au lycée et en post-bac...

La question n'est pas de "faire un cours sexy" mais d'enseigner les mathématiques pour de bon sans renier la spécificité et le fondement de notre discipline (démonstrations et abstraction) qui peuvent tout à fait intéresser voire passionner des jeunes d'aujourd'hui, y compris dans des facs moyennes et des lycées moyens, à condition qu'on se donne la peine de le faire sérieusement tout en maintenant l'équilibre avec un côté "basique" pour ceux qui ont plus de mal.

D'ailleurs, c'est peut-être justement à cause de la situation actuelle des maths et de la physique au lycée que certains étudiants s'en détournent : qui peut avoir envie de réciter 20 fois les mêmes corrigés en maths ou de lire des textes sans jamais vraiment expliquer les phénomènes étudiés en physique ?

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Par ailleurs, j'ai déjà vu l'appellation "intégrale de Cauchy" pour la théorie de l'intégration vue en prépa.

tenuki · August 2017

Sur la question spécifique de l'enseignement de l'intégration en licence (ou assimilé), l'avis d'Hervé Queffélec a quelque intérêt. On trouve notamment une réponse à la question de l'existence d'un théorème de convergence dominée chez Riemann.

Layouste · August 2017

Tous les avis sont possibles c'est certain. Je dirais simplement que nous sommes là pour enseigner des programmes qui ont certainement été écrits par des gens compétents, ayant à coeur de faire découvrir les mathématiques mais également conscience que les besoins dans cette discipline peuvent également être de nature pratique. Bref former pour coller aux besoins de la société. Les super matheux seront formés après un tronc commun.

SERGE_S · August 2017

Foys a ecrit :

Le choix de faire l'intégration des fonctions réglées est naturel (ça doit être la construction d'une théorie de l'intégration la plus rapide). Quand j'étais étudiant c'est la première que j'avais vue.

Il n'y rien de naturel dans le fait de limiter l'intégrale de Riemann à des fonctions réglées. Il y uniquement deux façons d'étudier la vraie intégrale de Riemann, soit à partir de la définition historique de Riemann, soit à partir de l'intégrale de Darboux pour ensuite démontrer l'équivalence avec celle de Riemann. Tout le reste, faire une théorie de l'intégration uniquement avec des fonctions réglées, ou des fonctions continues par morceaux est une simple travestie parcequ'on elimine plus de 50% de contenu de la théorie.

Si l'on veut faire une théorie élémentaire où toute fonction intégrable a une primitive l'intégrale de Henstock–Kurzweil est beacoup plus adaptée que celle de Riemann.

christophe c · August 2017

@layouste: je ne sais pas si tu cherches à provoquer ou si tu prends la posture candide. Mais tes slogans ont coûté un prix tellement important à des millions de jeunes depuis 30ans qu'il est dommage de les poster avec une telle légèreté comme te l'a dit avec grande diplomatie paf.

Je pense qu'il faut bien distinguer 2 situations:

1) Méthode ou médicament qui n'a jamais été essayé et dont on peut en quelque sorte légitimement revendiquer de vouloir l'expérimenter sans être accusé d'être un criminel (au pire on invoquera l'ignorance)

2) Médicament qui a tué tout le monde au précédent essai et qu'on ramène sur le marché en disant (alors qu'on n'a rien modifié dans sa composition) "ce coup-ci il ne tuera pas".

Le (2) devrait normalement envoyer les auteurs en prison à vie car ils ne peuvent arguer de l'excuse de l'ignorance.

Pour l'enseignement des sciences, les infiltrés non compétents qui viennent balancer dans les différents canaux de débat public les slogans erronés de années 85-95 (maths sexy, les jeunes n'aiment pas l'abstrait, donner du sens, moins de démonstrations plus d'applications , etc) NE SONT PAS DANS LA SITUATION (1) !!!!! Ils sont dans la (2): ils n'ont pas l'excuse de l'inconnu ou du "on n'a pas encore essayé".

Foys · August 2017

SERGE_S a écrit:

Il n'y rien de naturel dans le fait de limiter l'intégrale de Riemann à des fonctions réglées. Il y uniquement deux façons d'étudier la vraie intégrale de Riemann, soit à partir de la définition historique de Riemann, soit à partir de l'intégrale de Darboux pour ensuite démontrer l'équivalence avec celle de Riemann. Tout le reste, faire une théorie de l'intégration uniquement avec des fonctions réglées, ou des fonctions continues par morceaux est une simple travestie parcequ'on elimine plus de 50% de contenu de la théorie.

La théorie de l'intégration maniable, c'est celle de Lebesgue. Mais elle est longue à mettre en place, ce qu'on veut c'est une forme linéaire sur le bon espace de fonctions continues qui se prolonge via le théorème de Riesz en intégrale assez générale.
L'intégrale de Henstock Kurzweil est une alternative intéressante mais de marche que dans $\R^n$ (et les théorèmes un peu avancés comme le théorème de convergence monotone ne sont pas non plus triviaux dans cette théorie).

Donc si le but est d'avoir une théorie de l'intégration simple avant de faire la vraie, l'intégration des fonctions réglées a toutes les bonnes vertus:
-Introduction en 15 minutes (on construit l'intégrale des fonctions en escalier et on applique un théorème de prolongement des applications uniformément continues à valeur dans un espace métrique complet, un théorème qui ressert dans d'autres contextes. La procédure employée pour l'intégrale de Riemann est beaucoup plus spécifique).
-Fournit la forme linéaire à laquelle on va pouvoir appliquer le théorème de Riesz, ou des constructions comme l'intégrale de Daniell.

-Quand les gens débutent l'intégration c'est pour faire des calculs de primitive ou pour intégrer des fonctions toutes définies explicitement et donc continues par morceaux. Je n'ai pas dit qu'il n'y en avait pas d'autres mais Riemann non plus ne sait pas gérer la fonction caractéristique de $\Q$.

SERGE_S a écrit:

Si l'on veut faire une théorie élémentaire où toute fonction intégrable a une primitive l'intégrale de Henstock–Kurzweil est beacoup plus adaptée que celle de Riemann.

Le slogan est plutôt: "Pour toute fonction dérivable $f$ sur $[a,b]$, $\frac{df}{dx}$ est HK-intégrable et $\int_a^b \frac{df}{dx}(x) dx=f(b)-f(a)$ ".
Une fonction en escalier non constante ne possède pas de primitive et est malgré tout intégrable (au sens de n'importe quelle théorie de l'intégration, a fortiori HK).

Layouste · August 2017

Je vais m'arrêter sur ce fil après ce message.
L'auteur du fil entrant en deuxième année a tout de même le souci de la rigueur et la cohérence de l'enseignement des mathématiques, preuve que l'enseignement d'aujourd'hui peut quand même amener des élèves à faire des mathématiques proprement.
Concernant les différences entre prépa avant et après, mon avis est qu'il a toujours fallu adapter les programmes en fonction de ce que l'on attendait des scientifiques pour faire avancer la société. Les prépas ne sont pas des boites à faire des maths mais à préparer de futurs élèves d'écoles d'ingénieurs. Elles doivent donc amener les mathématiques par le biais d'un outil quitte à sabrer sur la construction rigoureuse d'un cours où les étudiants auraient les tenants et les aboutissants de tout le contenu.
Aujourd'hui, quoiqu'on en dise, un étudiant doit bien passer 2 h sur son smartphone à se distraire, distraction en devenir il y a 20 ans. Et il ne faut pas compter à se que l'on revienne à l'envers. Pour l'extirper, il faut proposer des choses attrayantes parce que la beauté de la puissance des mathématiques, tout le monde n'y est pas sensible. D'où l'avis de certains pas forcément candides, criminels,etc, d'orienter l'enseignement sur cette façon de faire.
Le "c'était mieux avant" est l'avis d'une partie d'une population sur n'importe quel thème mais ce n'est pas le seul. Une discussion est pour ma part un échange d'arguments qui finiront ou pas par convaincre. Elle n'est pas basée sur une tentative de décrédibiliser les intervenants.

mojojojo · August 2017

Merci tenuki pour ce texte instructif. Visiblement monsieur Queffélec a raison quand il dit que

Chaque mathématicien a un avis fort sur l’intégration et la façon idéale de l’enseigner !

L'intégration des fonctions réglées a des avantages par rapport à l'intégrale de Riemann ou l'intégrale des fonctions continues par morceau (parfois appelée intégrale de Cauchy, mais je ne sais pas ce qu'il a réellement fait là dedans). C'est plus général et plus simple à généraliser en dimensions supérieures que l'intégrale de Cauchy et ça se généralise plus simplement que l'intégrale de Riemann pour des fonctions à valeurs dans un Banach (on n'a pas forcément envie ou besoin de développer les intégrales de Bochner et Pettis).

Mais de toute façon c'est presque sans importance (j'exagère...) pour ceux qui apprendront un jour l'intégrale de Lebesgue puisqu'elle englobe et dépasse tout ça.

Chalk · August 2017

Lebesgue englobe Bochner ? (c'est une vraie question)

mojojojo · August 2017

Non, je voulais dire Lebesgue englobe Cauchy, Riemann et intégration des fonctions réglées.

christophe c · August 2017

De mon téléphone : layouste je n'ai pas cherché à te décrédibiliser juste à te rappeler ou t'informer du contexte. Cela n'a rien à voir avec "c'était mieux avant" ou je ne sais quel slogan que les tenants de la disparition des maths brandissent régulièrement justement pour essayer de cacher leur absence d'argument.

Aujourd'hui nous avons des données chiffrées précises qui condamnent totalement toute espoir de dire "je ne savais pas" pour un tenant de l'idéologie qui produit généralement tes slogans (je ne dis pas que tu en fais partie mais je dis que tu utilises ledits slogans)

Aujourd'hui on sait que pour enseigner les maths (ou n'importe quoi d'autre d'ailleurs) il faut en faire et non pas faire autre chose en espérant que par je ne sais quel magie ça infuse une compétence en maths aux gens visés. De même que personne ne songe à revendiquer de parler espagnol au motif que l'espagnol est plus sexy quand on est en train d'enseigner l'allemand (au mieux ça fera progresser en espagnol MAIS PAS en allemand) personne n'aurait jamais du penser qu'en remplaçant les maths par de la chantilly ça aurait par magie eu comme effet de faire progresser les gens en maths. Il s'est trouvé, par un bug du destin des fracassés pour l'envisager, ils ont tenté et divise par 10 le nombre de sortant du tronc commun apte à faire au moins un milligramme de maths (5% ---> 0.52% en 20ans ) en notant que les 0.5% de rescapés ne proviennent pas d'un résidu qui leur serait fourni par l'école, ils ne peuvent plus arguer " on 'a pas essayé"

ev · August 2017

Skyffer3 a écrit:

Lebesgue englobe Bochner ?

Ah ! crotte, je me suis encore trompé de bouquin !

e.v.

Foys · August 2017

H.Quéffelec a écrit:

Chaque mathématicien a un avis fort sur l’intégration et la façon idéale de l’enseigner !

@mojojo Hahaha .. C'est tellement vrai

. C'est un peu un débat dans le genre de "vim/emacs" ou "pain au chocolat/chocolatine".

skyffer3 a écrit:

Lebesgue englobe Bochner ? (c'est une vraie question)

Disons qu'on peut procéder comme suit:
Si $(X,\mathcal A,\mu)$ est un espace mesuré, $E$ un espace de banach, dédfinissons l'ensemble $\mathcal F$ des fonctions étagées comme étant l'espace vectoriel engendré par les $x\mapsto \left (\mathbf 1_A(x) \right)v$ où $v\in E$ et $A\in \mathcal A$. l'intégrale $\int_{X} fd\mu$d'un élément $f$ de $\mathcal F$ est définie de manière routinière et est un élément de $E$. Si maintenant $g:X\to E$ est une fonction mesurable quelconque, $\| g\|: X \to \R$ est mesurable et positive et $N(g):= \int_X \|g \| d\mu \in [0,+\infty]$. Si $\mathcal G:= \{u \in E^X \text{ mesurable } \mid N(u)<+\infty\}$, il est clair que:
1° $\mathcal G$ est un sous-espace vectoriel de $E^X$, $\mathcal F$ est un sous-espace de $\mathcal G$ et $N$ est une semi-norme sur $\mathcal G$
2° $f \in \mathcal F \mapsto \int_X fd\mu \in E$ est une application linéaire continue pour cette semi-norme.
On voit donc que ladite application va se prolonger par continuité à l'adhérence de $\mathcal F$ dans $\mathcal G$ (qu'on appellera $\mathcal L^1(X,E)$) en une application encore notée $h\mapsto \int_X h d\mu$.

On a les propriétés suivantes:
(i) $\mathcal L^1(X,E)$ est complet pour la semi-norme $N$. En particulier si $(g_n)_{n\in \N} \in \mathcal L^1(X,E)^{\N}$ et si $\sum_{n\in \N} N(g_n)<+\infty$ alors quand $n\to +\infty$, $\sum_{k=0}^n g_k$ tend vers un $g\in \mathcal L^1(X,E)$ tel que $\int_{X}gd\mu=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_X g_n d\mu$.

(ii) pour toute fonction mesurable $u: X\to E$ il y a au plus un vecteur $w\in E$ tel que pour toute forme linéaire continue $\ell:E\to \R$, $\ell \circ u$ est intégrable et $\int_X \ell \circ u d\mu=\ell(w)$ (utiliser Hahn-Banach). Lorsque $u \in \mathcal L^1(X,E)$ ce vecteur existe et n'est autre que $\int_X u d\mu$ (ceci dit que la présente intégrale est un cas particulier de l'intégrale de Pettis).
(iii) Si $\varphi: X\to \R_+$ est intégrable et si $(g_n)_{n \in \N} \in \mathcal L^1(X,E)^{\N}$ est telle que $\| g_n\| \leq \varphi$ presque partout, pour tout $n\in \N$, et si $g_n$ tend vers $g$ simplement presque partout, alors $N(g_n-g)$ tend vers $0$ par convergence dominée (NB: $\|g_n-g\| \leq 2\varphi$ p.p. et pour tout $n$.). Par suite $\int_X g_n d\mu$ tend vers $\int_X g d\mu$.

On peut montrer tout ceci assez vite en utilisant les résultats de la théorie de la mesure de Lebesgue pour des fonctions réelles.

geo · August 2017

Layouste a un discours qui ressemble beaucoup à ceux des inspecteurs!!!!!!!
Toute fois je suis d'accord avec ses arguments sur les élèves de maintenant mais je suis aussi d'accord avec Christophe sur le fait que pratiquer les maths.

En tant que musicien si je ne pratique pas sur mon instrument je perds mes réflexes.:-)

Chalk · August 2017

Merci Foys, j'avais déjà entendu parler de l'intégrale de Bochner mais je ne l'ai jamais vu utilisé en pratique (je me doute qu'elle sert, je ne l'ai juste jamais rencontré).

Cyrano · August 2017

Sinon en première année d'université, on peut simplement parler de l'intégrale de Lebesgue et tout admettre.
(J'avais un prof qui avait réussi à n'admettre "que" 12 résultats et il avait la puissance complète de la théorie de l'intégration de Lebesgue dès la première année (et on ne savait pas encore ce qu'était une topologie ...))

Le prof motivait les élèves à prendre théorie de la mesure (qui était en option) pour avoir les démos de tous les résultats admis. Et ça marchait bien car tout le monde prenait le cours. :-D

Prépa maintenant versus avant

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