Dénombrement des fractions

Arnaud · March 2005

Bonjour tout le monde, j'ai un petit problème de dénombrement que je ne parvient pas à résoudre :

On pose $K = \Z/p\Z$ le corps des entiers modulo p (p premier bien entendu) et on définit K' le corps des fractions sur K. Quel est le cardinal de K' ? (i.e. l'ensemble des éléments distincts donc ce n'est certainement pas p(p-1)...).

D'avance, merci

Arnaud V.

Alain Debreil · March 2005

Bonjour Arnaud

Peut-être je ne comprends pas bien ta question, mais $K$ est un corps, donc il est égal à son corps de fraction !
Le corps des fractions est défini pour un anneau intègre, par exemple $\Z$, ou $K[X]$. Dans le premier cas on obtient $\Q$, dans le second $K(X)$ le corps des fractions rationnelles sur $K$.

Alain

Arnaud · March 2005

Bon, cela répond à ma question (stupide effectivement, par définition d'un corps tout élément non nul possède un inverse dans ce corps)... Question subsidiaire : qu'est-ce qui se passe dans le cas d'un pseudo-corps ? (i.e. si q est une fraction définie par $a$ son numérateur et $b$ son dénominateur : on a $bq = a$ et $qb = a$ et pourtant la loi multiplication n'est pas commutative....)

Arnaud V.

YB0 · March 2005

Bonjour,

j'imagine que tu veux parler du corps K'=K(X) des fractions rationnelles sur K et non de son corps de fractions. Dans ce cas, il suffit de remarquer que le K-espace vectoriel K' admet une base dénombrable donc il me semble qu'il est de cardinal non dénombrable.

Amicalement

YB

Arnaud · March 2005

Il me semble que $\Z/p\Z (X)$ a une base finie (petit th de Fermat...), non ?

lolo1 · March 2005

non : ne pas confondre le polynôme X^p - X qui est de degré p , avec la fonction f(x) = x^p -x qui est nulle sur Z/pZ !

Pitou1 · March 2005

Par contre je ne vois pas bien le "base dénombrable => non dénombrable" dans le cas où le corps de base est fini. C'est moi qui débloque ou bien ?

Dénombrement des fractions

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