theoreme du relevement d'une fonction continue

Seba1 · March 2005

Bonsoir,
j'aimerai montrer qu'on le peut prendre une fonction continue $k(t)$ pour representer l'argument d'une fonction continue $h$ de $[0,1]$dans $\C*$.

J'ai une indication qui est de d'abord montrer qu'il existe une fonction $u$ affine par morceaux sur $[0,1]$ et une fonction $v$ continue sur $[0,1]$ de partie réelle strictement positive telles que $h(t)=u(t)v(t)$, j'ai montré ce résultat préliminaire mais je ne suis pas sur de voir l'idée.

Seba1 · March 2005

Ca n'a pas l'air d'inspirer grand monde ! Si qqun se rappellait juste vaguement de l'idée ca me suffirait, merci.

Alain Debreil · March 2005

$\C^*$

alekk4 · March 2005

tu le montres pour les fonction de classe $C^k$, $k \geq 1$. C'est assez facile avec une intégrale. Tu construit alors une suite de fonction $C^1$ qui converge uniformement vers f sur $[0;1]$. Je pense que tu dois pouvoir conclure. (bien sur je pense qu'il y a comme meme du travail pour avoir une solution bien propre)

YB0 · March 2005

Bonsoir,

l'argument est un élément de $\R/\2\pi\Z$. Ce dernier espace s'identifie au cercle unité $S^1$ via l'exponetielle $\theta \mapsto e^{i\theta}$.

D'autre part, on peut voir le cercle $S^1$ comme le quotient $\C^\times/\R^\times$ où $\R^\times$ (le module) opère par multiplication.

Ainsi, l'argument est la projection continue $p:\C^\times \to \C^\times/\R^\times = S^1$

Si $h:[0,1]\to \C^\times$ est continue, l'argument de $h$ est la fonction composée
$$
[0,1] \overset{h}{\longrightarrow}
\C^\times \overset{p}{\longrightarrow}
\C^\times/\R^\times =
S^1 =
\R/\2\pi\Z.
$$

En espérant que cela t'aide.

YB

PS: Ton indication me semble plutôt étrange et probablement mal formulée. En effet, on peut toujours prendre $u(t) =1$.

Cyril3 · March 2005

Pour YB,

Ton contre-exemple n'en est pas un: si tu poses $u(t)=1$, alors $v$ ne sera pas nécessairement à partie réelle positive comme c'est demandé.

Amicalement.

YB0 · March 2005

Désolé, j'avais mal lu l'indication.

Il n'en reste pas moins que je ne comprends pas l'idée de démonstration sous-jacente. Cela me semble bien compliqué pour un problème aussi simple: essentiellement la continuité de l'argument $\C^\times \to S^1$.

YB

corentin0 · March 2005

Effectivement, l'indication est bizarre. Quand j'avais vu le th de relèvement, on l'avait fait de façon "toute bête" (celle d'Alekk en fait, mais je vais juste préciser quelle est l'intégrale dont il parle) qui consiste à dire que quitte à quotienter par le module, on a la fonction de la forme;
$z(t)=e^{i\theta (t)}$, à supposer que $\theta$ existe et que z est $C^1$, il vérifie l'ED simple $i\theta '(t)=\frac{z'(t)}{z(t)}$, on prend l'intégrale de ça plus une constante comme un candidat, et il s'avère qu'il marche. (on a le droit de faire tout ça parce que z ne s'annule jamais)

VK · March 2005

Bonjour,

Il me semble que l'indication donnée à Seba peut être interprétée ainsi :
Si on prend un segment $[a,b]$ sur lequel $h(t) = u(t)v(t)$, $v>0$ et $u$ affine, alors $h$ est à valeurs dans un demi-plan ouvert, sur lequel la fonction argument peut-être définie explicitement (par exemple sur le demi-plan $x>0$, c'est $arctan(y/x) + 2p\pi$). Il ne reste plus qu'à recoller proprement les morceaux.

Cela dit, il me semble plus simple de se ramener à une fonction de module $1$ et d'utiliser ensuite l'uniforme continuité.

VK

Seba1 · March 2005

C'est effectivement comme ca que j'ai fais VK, on verra bien quelle idée avait en tete mon prof.

theoreme du relevement d'une fonction continue

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Bonjour!

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