Comparaison de deux traces

Bonjour,

Je sèche sur un exercice trouvé dans un vieux fascicule de maths L1.

On considère deux matrices A et B telles que $A^{2}=-I_{n}$, $B^{2}=-I_{n}$ et $AB+BA=0$.

La question était : que dire des traces de $A$ et $B$ ?

Etant donné que $X^{2}+1$ est un polynôme annulateur de $A$ et $B$, les seules
valeurs propres possibles de $A$ et $B$ sont $i$ et $-i$. Ainsi, les traces de $A$
et $B$ sont chacune de la forme $ki$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

Mais je ne sais pas comment exploiter l'égalité $AB+BA=0$...

Est-ce que quelqu'un aurait une piste à me proposer ?

Merci par avance et bonne journée,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Quel rapport y a-t-il entre la trace de $AB$ et celle de $BA$ ?
  • Elles sont opposées à cause du $AB=-BA$, et aussi égale par propriété, donc,
    $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)=0$...

    Mais ce sont les traces de $A$ et $B$ qui m'intéressent !
  • Bon, essayons autre chose. Que vaut $(A-B)^2$ ?
  • Peut-être regarder $(A+B)^2$ ?
  • Merci à Crapul et GaBuZoMeu pour votre aide !

    On a $(A+B)^{2}=-2I_{n}$ et $(A-B)^{2}=-2I_{n}$.

    C'est une piste que j'avais déjà essayée, mais je ne vois pas où elle mène...
    Mais peut-être que vous OUI !
  • J'm'a gourré : je voulais écrire $(A+iB) ^2$ (tu aurais d'ailleurs pu y penser en voyant nos suggestions).
  • Ah : celle là est intéressante ! $(A+iB)^{2}=0$, donc, j'ai un polynôme annulateur...
    Mais alors ?
  • Bon, je pense que tu peux tout de même réfléchir un peu à partir de ça, non ?
  • Autre méthode : $A$ et $-A$ sont semblables.
  • On a donc $\mathrm{Sp} \left( A+iB \right) \subset \{ 0 \}$, donc, $\mathrm{Tr}(A+iB)=0$, donc,
    $\mathrm{Tr}(A)+i\mathrm{Tr}(B)=0$...
  • Tu as donné toi-même les formes possibles de $Tr(A)$ et $Tr(B)$.
  • Bonsoir à tous,

    Grâce à Crapul et GaBuZoMeu, une solution a été trouvée...

    Cela dit, dans le chapitre du fascicule où j'ai trouvé l'exercice, la réduction n'avait pas encore
    été traitée...

    La solution proposée par JLT me semble donc plus appropriée, et me permet de me rendre
    compte qu'en fait, vu que $A$ et $-A$ sont semblables, seule l'hypothèse "$B$ inversible" est
    utile (et on n'utilise alors pas complètement que $B^{2}=-I_{n}$).

    Merci à nouveau à tous pour votre aide,

    $\alpha$-Nico
  • Pas besoin de réduction ! Tu aurais pu voir que ce que tu as fait pour $(A+iB)^2$, tu peux le faire pour $(A-iB)^2$, et en tirer la conclusion qui s'impose.
  • Merci pour ton aide GaBuZoMeu : les deux matrices que tu cites sont nulles, et alors ?

    Je ne suis sans doute pas aussi fort que toi en maths, alors, les conclusions qui te paraissent évidentes ne le sont pas forcément pour moi ...

    J'ai donc $(A-iB)^{2}=0$ et $(A+iB)^{2}=0$. Quoi dire qui ne parle pas de valeurs propres ?
  • Bon, c'est vrai qu'il faut savoir qu'une matrice nilpotente est de trace nulle.

    PS. Ce qu'on a utilisé ici, c'est $A^2=B^2$ et $AB+BA=0$.
  • Ah ok : tu pensais à ce résultat sur les matrices nilpotentes...

    En passant par de la trigonalisation, c'est évident, mais sans utiliser
    de réduction de matrices, je ne sais pas si ça se démontre facilement !

    Je vais enquêter...

    Merci en tous cas !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.