Suites récurrentes coefficients non constants

NM001 · May 2017

Bonjour,

Voilà je cherche à étudier la sommabilité de la suite $(\theta_n)$ :

$\theta_{n+1}= a_n\theta_n + b_n\theta_{n-1}$

où $(\theta_n)$, $(a_n)$ et $(b_n)$ sont positives et $(a_n)$ et $(b_n)$ sont dans $]0,1[$.

On peut traiter le cas $a_n\leq a<1$ et $b_n\leq b <1$ en introduisant la matrice

$A =
\begin{bmatrix}
a &b\\
1 & 0
\end{bmatrix}$ et en disant que matriciellement on a $X_{n+1}=A X_n$ et qu'il suffit que les valeurs propres de $A$ soient norme strictement plus petites que $1$. Cependant, c'est le cas où $a_n$ et $b_n$ peuvent tendre vers $1$ qui m'intéresse. En fait, le cas borné nous assure que si $a+b<1$ alors c'est bon, du coup je n'espère pas vraiment avoir mieux quand ça tend vers 1.

Je sais aussi que dans le cas $b_n=0$, une condition suffisante est que $a_n\leq 1- \frac{3}{n+2}$, et du coup j'aimerais bien montrer que si $a_n+b_n\leq 1- \frac{3}{n+2}$, on a encore que $(\theta_n)$ est sommable.

Est ce que quelqu'un a une idée d'un endroit où chercher, si quelqu'un a déjà fait ça...

Merci d'avance

NM001 · July 2017

Bonjour,

Je relance cette discussion, car je n'ai pas vraiment réussi à conclure. J'ai essayé quelques trucs, par exemple, les valeurs propres sont
$\lambda_1= -\frac{1}{2}(\sqrt{4b_n+a_n^2}-a_n)$ et $\lambda_2=\frac{1}{2}(\sqrt{4b_n+a_n^2}+a_n)$.

Prenons la seconde, et essayons de la majorer par une suite annexe $u_n$ :
(j'ai mis des équivalences, mais il manque une petite hypothèse)

$\frac{1}{2}(\sqrt{4b_n+a_n^2}+a_n) \leq u_n$
$\Leftrightarrow$ $4b_n+a_n^2\leq 4u_n^2+a_n^2-4u_na_n$
$\Leftrightarrow$ $b_n+a_nu_n\leq u_n^2$

Ainsi, si on pouvait remplacer la matrice $A_n =
\begin{bmatrix}
a_n &b_n\\
1 & 0
\end{bmatrix}$
par la matrice $diag(\lambda_1,\lambda_2)$, alors on pourrait la "majorer" (point à point), et faire le produit et on se retrouverait avec le produit des $u_n$.

C'est encore assez vague, mais est ce que quelqu'un a une idée pour gérer ce problème matriciel. Mon niveau en algèbre linéaire n'est plus ce qu'il était, et je ne sais pas trop si on peut réussir à faire ce que je propose (avec la diagonalisation et le produi).

Merci d'avance !

Suites récurrentes coefficients non constants

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