le pentagone régulier
Réponses
-
La méthode d’Euclide marche bien, non ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour,
Parmi les myriades de constructions du pentagone régulier, décréter quelle est la plus "simple" nécessite de définir "simple".
La référence donnée de la construction d'Euclide est "rather tedious to carry out" (assez pénible)
Certes la page citée donne la construction "de Richmond" un peu meilleure.
Ma préférée est celle donnée dans le Lebossé et Hemery de 1ère C de 1962. -
Bonjour,
Euclide est excellent, mais est-ce le plus simple?
imaginons que je demande de tracer le pentagone régulier ABCDE de côté c ; avec combien de cercles et combien de droites au minimum, pensez vous que cette construction soit faisable ?
Une des plus simple construction d'un pentagone équilatéral est celle de Dürer qui nécessite le tracé de 4 cercles et 3 droites pour obtenir les sommets (reste encore à tracer les 5 côtés).
Malheureusement , ce pentagone n'est pas régulier puisque les angles font, en degré : 107,0378259 (deux fois), 108,3661202 (deux fois) et 109,1921078 .
Bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
il me semble que la jolie construction du Lebossé et Hemery oublie les traits de construction pour obtenir I et H; me trompe-je?
on peut aussi prendre ''simple'' dans le sens de ''simple à mémoriser''.
Je crois bien que Emile Lemoine est un des premiers géomètres à s'être intéressé à ce genre de question .
Bien cordialement
kolotoko -
Voici une construction que j'aime particulièrement :
on construit le cercle de centre $\textrm I(-1/4,0)$ passant par $\textrm J(0,1/2)$. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en $\textrm M$ et $\textrm N$ qui sont les projetés des sommets du pentagone admettant $\textrm A_0(1.0)$ pour premier sommet.
Bruno -
C'est tout simplement de la balle.
Merci sieur Bruno.
S -
Bonjour,
joli, trés joli. Merci Bruno , chephip et nicolas.patrois.
Ces constructions nous donnent des solutions du problème suivant : construire un pentagone régulier dans un cercle dont le rayon R est connu.
Encore faut-il pour la dernière construction déterminer le point I, le point J, et les perpendiculaires en M et N au diamètre A0A' .
Cela en fait des cercles à tracer; je n'ai pas compté.
Tracer un pentagone de côté c donné semble un autre problème, non?
Je sais résoudre ce dernier problème en traçant seulement 3 droites et 6 cercles.Pour être précis j'obtiens les 5 sommets , il reste encore à tracer les côtés . Peut-on faire plus simple ?
Bien cordialement
kolotoko -
Et il y a la construction simple, mais sans règle, ni compas (ni crayon), juste une bande de papier :
on fait un noeud avec la bande de papier, on aplatit le noeud, et hop, un pentagone.
(oui, je sais, ce n'est pas un forum maternelle pliage-découpage) -
ç'est cool ce truc nunuche, mais c'est seulement une forme approchée du pentagone régulier. Je trouve ça beau quand même.
S -
Pour ta défense je ne sais pas pourquoi il est irrégulier.
S -
Bonjour,
je trouve que c'est génial que des géomètres de l'antiquité aient construit le pentagone régulier sans connaitre les nombres complexes et les raffinements de la trigonométrie.
Vraiment, vous trouvez pas ça génial ?
Par contre ils sont passés à côté de le construction du polygone régulier à 17 côtés (ils s'appelle comment ?), du théorème de Dandelin, du théorème de Morley, du théorème de Varignon, ....
Vive la géométrie, euclidienne ou pas !!!!
Bien cordialement
kolotoko -
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
-
Et celui à 257 côtés? Un heptapentacontadihectogone?
[N.B. Je n'ai jamais fait de grec, donc c'est peut-être un barbarisme] -
Bonsoir kolotoko.
Ce que je trouve encore plus génial, c'est que c'est peut-être plus le pentagone que le carré qui leur a montré que $\sqrt 5$ est irrationnel. En effet, en appliquant le procédé de soustractions on se convainc très rapidement que le côté du pentagone et le côté du pentagramme n'ont pas de partie aliquote commune.
Bruno -
S a écrit:ç'est cool ce truc nunuche, mais c'est seulement une forme approchée du pentagone régulier.
En même temps, ça occupe... -
Bonsoir,
heptadécagone ; ah ,oui, bien sûr.
Pour ce qui est du pentagone, je vous livre la constuction kolotokienne d'un pentagone connaissant son côté , dont je parlais .
J'espère que quelqu'un pourra joindre la figure ainsi décrite :
1) placer AB = R sur une droite D1 (horizontale; A à gauche ,B à droite)
2) tracer C1 le cercle de centre A et de rayon R
3) tracer le cercle C2 de centre B et de rayon R
4) C1 et C2 se coupent en C (en haut) et D (en bas)
5) le cercle C3 de centre D et de rayon R coupe C1 en B et E
6) la droite D2 = CD (verticale)coupe la droite D3 = BE en F
7) tracer le cercle C4 de centre F et de rayon FE = FC qui coupe D1 en G (à gauche de A)
8) Le cercle C5 de centre G et de rayon R coupe C2 en H (en haut) et I (en bas) et coupe C1 en J(en haut) et K (en bas)
9) tracer le cercle C6 de centre K et de rayon R qui coupe C2 en A et L.
La figure BHGKL est le pentagone régulier de côté R .
On a tracé 3 droites et 6 cercles (C1,C2,C3,C5,C6 de rayon R et C4 de rayon 2R/rac(3)..
Bien cordialement
kolotoko -
Bonsoir,
merci beaucoup nunuche; c'est exactement ça!
cette construction commence comme celle de Dürer mais donne vraiment un pentagone régulier.
bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
voici une construction du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O(0;0) et de rayon R = 1.
Soit A(0;1) et B(2;0).
La bissectrice de OAB coupe OB en C.
AC est le côté du pentagone et OC est le côté du décagone.
Cette construction est dûe à Weidenholzer (annales de Grunert 1886)
Bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
Voici une illustration de cette construction "de Weidenholzer" complètement détaillée.
Données O, A, cercle Γ (donc le cercle Γ ne compte pas : il est donné, par contre la droite OA ne l'est pas)
J'ai utilisé 6 fois le compas (1 à 6) et 5 fois la règle (1 à 5). -
Bonsoir,
c'est beau!
Certaines constructions du pentagone prennent pour point de départ un carré ; vous en connaissez ?
Bien cordialement
kolotoko -
Bonsoir,
d'après le site " cut the knot" , la construction du Lebossé et Hemery serait essentiellement dûe à un certain Yosifusa Hirano , japonais du 19ième siècle.
Autre chose, dans la construction que j'ai proposé plus haut, il suffit de rajouter un cercle de rayon R (ou une droite) pour obtenir à la fois la construction des sommets du pentagone régulier et de l'hexagone régulier de côté R sur la même figure ; en tout 3 droites, 6 cercles de rayon R et un cercle de rayon R*2/rac(3) .
Peut-on être plus économe que kolotoko?
bien cordialement
kolotoko -
Une construction possible (une qui "tombe sous le sens") :kolotoko a écrit:Certaines constructions du pentagone prennent pour point de départ un carré ; vous en connaissez ? -
Bonjour
merci chephip pour cette construction.
En y réfléchissant davantage, j'ai amélioré ma construction et avec 6 cercles (dont 5 de même rayon ) et 3 droites et je construis sur la même figure le pentagone régulier et l'hexagone régulier de côté donné (ainsi que le triangle équilatéral évidemment ) .
La construction commence par la construction classique de l'hexagone en traçant 3 cercles de même rayon et se poursuit comme j'ai indiqué .
bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
voici ma construction légèrement modifiée et avec un autre lettrage.
1) Tracer un cercle C1 de centre O et de rayon R.
2) La droite D1 (horizontale) coupe ce cercle en A (à gauche) et D (à droite)
3) Tracer le cercle C2 de centre A de rayon R qui coupe C1 en B (en haut) et F (en bas) et le cercle C3 de centre B et de rayon R qui coupe C1 en C (en haut) et E (en bas)
Voilà on vient de construire classiquement l'hexagone ABCDEF de côté R ; je continue.
4) La droite verticale CE coupe la droite DF en G.
5) le cercle C4 de centre G passant par C et par F coupe D1 en H situé entre A et O.
6) le cercle C5 de centre H et de rayon R coupe C3 en I (en haut ) et en J (en bas) ; C5 coupe C1 en K (en haut) et L (en bas).
7) le cercle C6 de centre L et de rayon Rcoupe C3 en M et O .
On vient de construire le pentagone régulier DIHLM de côté R .
Si chephip pouvait joindre cette figure ? je l'en remercie par avance
Bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
1) Tu devrais te procurer un logiciel de géométrie. Il y en a plusieurs qui sont très bien
Geogebra (l'incontournable)
Cabri (bof)
CaR (alias ZUL) et son adaptation CarMetal
Declic
etc. (teléchargements via les sites donnés par Google)
2) Il y a un loup quelque partkolotoko a écrit:Tracer le cercle C2 de centre A de rayon R qui coupe C1 en B (en haut) et F (en bas) et le cercle C3 de centre B et de rayon R qui coupe C1 en C (en haut) et E (en bas) -
Bonjour,
tu as raison , bien sûr : C3 , cercle de centre D.
bien cordialement
kolotoko -
OK
Ma remarque précédente sur "même avec centre D ça ne marche pas" était due à un mélange de pinceaux de ma part et une salade de points. (pas facile de suivre sur les deux fenêtres en même temps) -
Bonjour
superbe !
bien cordialement
kolotoko -
Bonjour,
j'ai vu sur le site "cut the knot" une magnifique construction des sommets d'un pentagone régulier qui ne demande que le tracé de 7 cercles et aucune droite !
bravo Lorenzo Mascheroni!!
bien cordialement
kolotoko -
D'après les manuels de dessin technique ou industriel, on suppose en général le centre O et un sommet A connus, puis on applique une version économe de la construction de Ptolémée.
(a) on trace un cercle (C) de rayon OA = R.
(b) on explicite le diamètre AOA', et le diamètre perpendiculaire HOH'
(c) le cercle de rayon R et de centre A coupe (C) en 2 points de la médiatrice de OA, qui coupe OA en M.
(d) MH (resp. MH') donne le coté du pentagone rac(R²+R²/4) = R*rac(5)/2. -
Une construction en Flash est proposée ici :
http://rdassonval.free.fr/flash/pentagone0.swf -
Sont donnés deux sommets consécutifs d'un pentagone régulier.
Sont construits au compas seul les trois autres sommets, en neuf cercles.
(1) (A,AB)
(2) (B,BA) $\rightarrow$ X et Y
(3) (X,XA) $\rightarrow$ C et D
(4) (C,CA)
(5) (D,DB) $\rightarrow$ E
(6) (X,XE)
(7) (Y,XE) $\rightarrow$ F et G
(8) (A,AG) $\rightarrow$ P
(9) (B,BF) $\rightarrow$ Q et Z
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