Surface maximale à périmètre donné
Réponses
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Bonjour,
Fais l'expérience chez toi. Conjecture la solution. Démontre-la. -
:-D
A lire avant de la démonter une quiconque conjecture https://fr.wikipedia.org/wiki/Isopérimétrie#Polygone_quelconque
Conjecture de gebrane
l'aire est maximale avec le demi-disque de diamètre la longueur de la tigeLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Conjecture: La corde a la forme d'un arc de cercle
On suppose connu que le cercle est la courbe qui délimite la plus grande surface pour un périmètre donné.
On place la corde en arc de cercle, les 2 bouts attachés aux extrémités de la tige
On complète l'arc de cercle par une autre corde pour obtenir un cercle complet
Si en déformant la 1ère corde, on pouvait obtenir une aire supérieure pour l'ensemble tige + 1ère corde, on aurait en même temps en enlevant la tige de la figure une courbe non circulaire délimitant une surface plus grande que le cercle de même périmètre. Contradiction
ça m'a l'air correct. Tu as bien fait de m'inciter à réfléchir. -
Merci joel_5632
Ainsi, ta conjecture n'est plus une conjecture.
Cordialement. Poulbot -
@Poulbot
Supposons que la tige mesure 1m et la longueur de la corde est de 3m, Quelle est l'aire de cette surface maximale?
Merci
edit aucune réponse ! ma question est bête? A vrai dire je ne vois pas comment calculer le rayon du cercle du Poulbot connaissant uniquement la longueur de la tige et celle de la corde. Je sais je suis nul en géométrie :-D A l'aide Dom.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Et si la tige mesure 1m et la corde 10m... est-on bien certain qu'un tel arc de cercle existe ? :-D
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ah oui, au temps pour moi...
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Bonjour,
Soit $\displaystyle \ell$ la longueur de la corde (dans une unité de longueur) et $a$ la longueur de la tige (dans la même unité de longueur).
On suppose $\displaystyle a = \ell$ : la corde est aussi longue que la tige.
L'aire recherchée est nulle car la corde se confond avec la tige.
On suppose $\displaystyle a < \ell$ : la corde est plus longue que la tige.
On note $R$ le rayon du cercle (même unité) et $\displaystyle 2 \alpha$ l'angle au centre, avec $\displaystyle 0 \leq \alpha \leq \pi$, du cercle qui intercepte la corde $\displaystyle AB$ de ce cercle avec $\displaystyle A$ et $\displaystyle B$ les extrémités de la tige. On a alors : $\displaystyle \ell = R 2\alpha$ et $\displaystyle \sin \alpha = {a/2 \over R}$ et l'aire $\Delta$ recherchée est donnée par la différence d'aires du disque intercepté $\displaystyle R^2 \alpha$ et du triangle isocèle au centre $\displaystyle {aR \over 2} \cos \alpha$ pour $\displaystyle 0 \leq \alpha \leq {\pi \over 2} $ et par la somme d'aires du disque intercepté $\displaystyle R^2 \alpha$ et du triangle isocèle au centre $\displaystyle -{aR \over 2} \cos \alpha$ pour $\displaystyle {\pi \over 2} \leq \alpha \leq \pi$ que l'on écrit $\displaystyle \Delta = R^2 \alpha - {aR \over 2} \cos \alpha$ dans les deux cas.
On a donc $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} = {a \over \ell}$ que l'on sait résoudre graphiquement pour trouver $\alpha$ puis $\displaystyle \Delta = R^2 \alpha - {aR \over 2} \cos \alpha = R^2 (\alpha - \sin \alpha \cos \alpha)= {a^2 \over 4} { \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \over \sin^2 \alpha} = {\ell^2 \over 4} { \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \over \alpha^2 }.$
Comme je suis physicien dans l'âme je me dois de traiter les cas limites. Lorsque $\displaystyle {a \over \ell}<<1 $ et que la tige est réduite à un point ou que la la corde est bien plus longue (en ordre de grandeur) que la tige, alors on a $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} \to 0$ et $\alpha \to \pi$ et l'aire recherchée est $\displaystyle \Delta \to {\ell^2 \over 4 \pi} = \pi ({\ell \over 2\pi})^2$ c'est-à-dire l'aire d'un disque dont la circonférence est $\ell.$ Lorsque $\displaystyle {a \over \ell} \sim 1 $ et que la tige et la corde sont pratiquement de la même longueur, alors on a $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} \to 1$ et $\alpha \to 0$ et l'aire recherchée est $\displaystyle \Delta = {\ell^2 \over 4} { \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \over \alpha^2 } \sim {\ell^2 \over 6} \alpha \to 0.$ -
Bonjour,
Soit $t$ la longueur de la tige, $\ell$ celle de la corde, $r$ le rayon du cercle, $\alpha$ l'angle délimité par la tige. On a $t=2r \sin( \alpha/2)$ et $\ell=(2\pi-\alpha)r$. Donc
$\alpha/2= \pi-\ell /(2r)$. Donc $t=2r \sin (\pi-\ell /(2r))$. Cette fonction $2r \sin (\pi-\ell /(2r))$ de $r$ est continue sur $]0, +\infty[$ et tend vers $0$ quand $r$ tend vers $0$, et vers $\ell$ quand $r$ tend vers $+ \infty$. Donc si $0<t< \ell$, il existe $r$ tel que $t=2r \sin (\pi-\ell /(2r))$.
A partir de là, la surface $S=r^2\sin (\alpha/2) \cos( \alpha/2)+\pi r^2 \frac{2\pi- \alpha}{2\pi}$.
Bon, ce n'est pas très satisfaisant, car peut-être, il y a plusieurs $r$ possible (si il y a enroulement), donc on prend le plus grand $r$ possible. -
EDIT ERREUR@YvesM
Ma question est claire et directe (d'un novice), donne moi l'aire de cette surface maximale ( je suppose l'existence de ce cercle )
la tige mesure AB=1m et la longueur de la corde est de L=3m
alors $AIRE=\pi R^2-\frac {\theta R^2}{2}$
EDIT( $AIRE=\pi R^2-\frac {\theta R^2}{2}+cos\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}sin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix} .R^2)$
EQ1:=$Rsin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}=\frac {AB}{2}$
EQ2:=$2\pi R-\theta R=L$ -
surface=1.2013776207783667484
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Qui peut confirmer le calcul de pldx1?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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J'avais besoin de ce calcul, car j'ai envie donner cet exercice à des élèves pour voir leurs réactions, je soupçonne que pas mal d'entre d'eux vont dire que la surface maximale est donnée par le carré de coté 1 ( avec les données AB=1m et L=3m) donc le calcul de pldx1 est intéressantLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Merci YvesM, marco , Fluo et pldx1
Je vais regarder tous cela à tête reposéeLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Bonjour,
"J'avais besoin de ce calcul, car j'ai envie donner cet exercice à des élèves "
Mais gebrane0 ne pousse pas l'envie jusqu'à faire le calcul lui-même. Les équations lui ont été données, il suffit juste d'appuyer sur "solve" ou de faire une figure paramétrée sous Geobebra. Une pareille paresse est un pitoyable exemple pour d'hypothétiques élèves.
Sans parler de la touche finale: "Qui peut confirmer le calcul de pldx1?" C'est tout simple: les maths, cela ne se décide pas par un vote. Si quelqu'un veut une confirmation, il lui suffit de se prendre par la main et de faire le calcul par lui-même.
Cordialement, Pierre. -
@pldx1pldx1 ecrivait a écrit:Mais gebrane0 ne pousse pas l'envie jusqu'à faire le calcul lui-mêmepldx1 ecrivait a écrit:Les équations lui ont été données, il suffit juste d'appuyer sur "solve"pldx1 ecrivait a écrit:ou de faire une figure paramétrée sous Geobebra
Je n'ai pas cette expérience ( ou maitrise) de Geobera ou autre logiciel pour calculer une surface sans formulepldx1 ecrivait a écrit:Sans parler de la touche finale: "Qui peut confirmer le calcul de pldx1?"pldx1 ecrivait a écrit:Si quelqu'un veut une confirmation, il lui suffit de se prendre par la main et de faire le calcul par lui-même.
Je répète! j’étais incapable de calculer cette surface pour pouvoir vérifier les calculs par moi mêmepldx1 ecrivait a écrit:les maths, cela ne se décide pas par un vote
Je vais faire l’expérience la semaine prochaine et j'espere qu'au moins un élève aura l'idée d’épouser la corde sur le cercle tracé au sol
edit ajout dessin dans la coursLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
On peut faire de l'analyse en fixant la tige $[0,1]$ et $f$ la fonction de la corde, alors l'aire est l'intégrale : $\int_0^1 f(t)dt$ et la longueur de la corde est $L= \int_f dw=\int_0^1 \sqrt{1+f'(t)^2} dt$. Il faut faire un calcul variationnel...
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bonjour
je corrige une coquille que j'ai écris
alors $AIRE=\pi R^2-\frac {\theta R^2}{2}+cos\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}sin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix} .R^2\approx 1.201m^2$PLDX1
surface=1.2013776207783667484
avec
EQ1:=$Rsin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}=\frac {AB}{2}$
EQ2:=$2\pi R-\theta R=L$
je trouve
$\theta \approx 1.728radians$
$R\approx 0.658m$Yves M
on trouve alpha=2.278 radians puis R=0.66m -
Bonjour @fluorhydrique,
Les notations des différents postes se sont pas identiques entre les intervenants : tous les angles notés $\displaystyle \alpha$ sur ce forum n'ont pas la même valeur.
Dans ce cas :
- j'utilise $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} = {a \over \ell} = {1 \over 3} \implies \alpha \sim 2.278$ en radians.
- tu utilises $\displaystyle \beta = 2(\pi - \alpha) \sim 1.728$ en radians.
Nous trouvons bien la même solution.
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Bonjour!
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