Surface maximale à périmètre donné

Bonjour,

On a une corde dont les bouts sont attachés aux 2 extrémités d'une tige rigide. Comment disposer la corde pour que la surface délimitée par la corde et la tige soit maximale ?

Réponses

  • Bonjour,

    Fais l'expérience chez toi. Conjecture la solution. Démontre-la.
  • :-D
    A lire avant de la démonter une quiconque conjecture https://fr.wikipedia.org/wiki/Isopérimétrie#Polygone_quelconque
    Conjecture de gebrane
    l'aire est maximale avec le demi-disque de diamètre la longueur de la tige
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour joel_5632
    Considère un autre arc d'extrémités $A$ et $B$ et de longueur $L$.
    Cordialement. Poulbot64300
  • Conjecture: La corde a la forme d'un arc de cercle

    On suppose connu que le cercle est la courbe qui délimite la plus grande surface pour un périmètre donné.

    On place la corde en arc de cercle, les 2 bouts attachés aux extrémités de la tige
    On complète l'arc de cercle par une autre corde pour obtenir un cercle complet

    Si en déformant la 1ère corde, on pouvait obtenir une aire supérieure pour l'ensemble tige + 1ère corde, on aurait en même temps en enlevant la tige de la figure une courbe non circulaire délimitant une surface plus grande que le cercle de même périmètre. Contradiction

    ça m'a l'air correct. Tu as bien fait de m'inciter à réfléchir.
  • Merci joel_5632
    Ainsi, ta conjecture n'est plus une conjecture.
    Cordialement. Poulbot
  • @Poulbot
    Supposons que la tige mesure 1m et la longueur de la corde est de 3m, Quelle est l'aire de cette surface maximale?
    Merci
    edit aucune réponse ! ma question est bête? A vrai dire je ne vois pas comment calculer le rayon du cercle du Poulbot connaissant uniquement la longueur de la tige et celle de la corde. Je sais je suis nul en géométrie :-D A l'aide Dom.
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  • Et si la tige mesure 1m et la corde 10m... est-on bien certain qu'un tel arc de cercle existe ? :-D
  • Bonjour @gebrane0 et @averell,

    Vous avez la réponse sous vos yeux dans la figure du cercle, d'une corde $AB$ et de deux arcs de cercle de part et d'autre de cette corde, non ?

    Si la tige mesure $0$ et la corde 1 mètre ou 1 kilomètre, on peut tout de même former un cercle non ?
  • ah oui, au temps pour moi...
  • @YvesM
    Ma question est claire et directe (d'un novice), donne moi l'aire de cette surface maximale ( je suppose l'existence de ce cercle )
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour,

    Soit $\displaystyle \ell$ la longueur de la corde (dans une unité de longueur) et $a$ la longueur de la tige (dans la même unité de longueur).

    On suppose $\displaystyle a = \ell$ : la corde est aussi longue que la tige.
    L'aire recherchée est nulle car la corde se confond avec la tige.

    On suppose $\displaystyle a < \ell$ : la corde est plus longue que la tige.
    On note $R$ le rayon du cercle (même unité) et $\displaystyle 2 \alpha$ l'angle au centre, avec $\displaystyle 0 \leq \alpha \leq \pi$, du cercle qui intercepte la corde $\displaystyle AB$ de ce cercle avec $\displaystyle A$ et $\displaystyle B$ les extrémités de la tige. On a alors : $\displaystyle \ell = R 2\alpha$ et $\displaystyle \sin \alpha = {a/2 \over R}$ et l'aire $\Delta$ recherchée est donnée par la différence d'aires du disque intercepté $\displaystyle R^2 \alpha$ et du triangle isocèle au centre $\displaystyle {aR \over 2} \cos \alpha$ pour $\displaystyle 0 \leq \alpha \leq {\pi \over 2} $ et par la somme d'aires du disque intercepté $\displaystyle R^2 \alpha$ et du triangle isocèle au centre $\displaystyle -{aR \over 2} \cos \alpha$ pour $\displaystyle {\pi \over 2} \leq \alpha \leq \pi$ que l'on écrit $\displaystyle \Delta = R^2 \alpha - {aR \over 2} \cos \alpha$ dans les deux cas.
    On a donc $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} = {a \over \ell}$ que l'on sait résoudre graphiquement pour trouver $\alpha$ puis $\displaystyle \Delta = R^2 \alpha - {aR \over 2} \cos \alpha = R^2 (\alpha - \sin \alpha \cos \alpha)= {a^2 \over 4} { \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \over \sin^2 \alpha} = {\ell^2 \over 4} { \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \over \alpha^2 }.$

    Comme je suis physicien dans l'âme je me dois de traiter les cas limites. Lorsque $\displaystyle {a \over \ell}<<1 $ et que la tige est réduite à un point ou que la la corde est bien plus longue (en ordre de grandeur) que la tige, alors on a $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} \to 0$ et $\alpha \to \pi$ et l'aire recherchée est $\displaystyle \Delta \to {\ell^2 \over 4 \pi} = \pi ({\ell \over 2\pi})^2$ c'est-à-dire l'aire d'un disque dont la circonférence est $\ell.$ Lorsque $\displaystyle {a \over \ell} \sim 1 $ et que la tige et la corde sont pratiquement de la même longueur, alors on a $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} \to 1$ et $\alpha \to 0$ et l'aire recherchée est $\displaystyle \Delta = {\ell^2 \over 4} { \alpha - \cos \alpha \sin \alpha \over \alpha^2 } \sim {\ell^2 \over 6} \alpha \to 0.$
  • @YvesM
    Tu ne trouves pas assez surprenant que ton aire $\Delta$ dépend uniquement de la longueur de la corde et non pas aussi de la longueur de la tige?
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  • Bonjour,

    Soit $t$ la longueur de la tige, $\ell$ celle de la corde, $r$ le rayon du cercle, $\alpha$ l'angle délimité par la tige. On a $t=2r \sin( \alpha/2)$ et $\ell=(2\pi-\alpha)r$. Donc
    $\alpha/2= \pi-\ell /(2r)$. Donc $t=2r \sin (\pi-\ell /(2r))$. Cette fonction $2r \sin (\pi-\ell /(2r))$ de $r$ est continue sur $]0, +\infty[$ et tend vers $0$ quand $r$ tend vers $0$, et vers $\ell$ quand $r$ tend vers $+ \infty$. Donc si $0<t< \ell$, il existe $r$ tel que $t=2r \sin (\pi-\ell /(2r))$.

    A partir de là, la surface $S=r^2\sin (\alpha/2) \cos( \alpha/2)+\pi r^2 \frac{2\pi- \alpha}{2\pi}$.

    Bon, ce n'est pas très satisfaisant, car peut-être, il y a plusieurs $r$ possible (si il y a enroulement), donc on prend le plus grand $r$ possible.
  • EDIT ERREUR
    @YvesM
    Ma question est claire et directe (d'un novice), donne moi l'aire de cette surface maximale ( je suppose l'existence de ce cercle )
    la tige mesure AB=1m et la longueur de la corde est de L=3m
    utilise AB et L pour construire un système de deux équations à deux inconnues $\theta$ et $R$
    alors $AIRE=\pi R^2-\frac {\theta R^2}{2}$
    EDIT( $AIRE=\pi R^2-\frac {\theta R^2}{2}+cos\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}sin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix} .R^2)$
    EQ1:=$Rsin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}=\frac {AB}{2}$
    EQ2:=$2\pi R-\theta R=L$
  • surface=1.2013776207783667484
  • Qui peut confirmer le calcul de pldx1?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • J'avais besoin de ce calcul, car j'ai envie donner cet exercice à des élèves pour voir leurs réactions, je soupçonne que pas mal d'entre d'eux vont dire que la surface maximale est donnée par le carré de coté 1 ( avec les données AB=1m et L=3m) donc le calcul de pldx1 est intéressant
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  • Bonjour @gebrane0,

    J'ai édité mon message. Pour $a=1m$ et $\ell = 3m$ on trouve $\alpha \sim 2.278$ radians soit encore $\alpha \sim 130$ degrés, puis $R \sim 0.66m$ et $\Delta \sim 1.20m^2.$
  • Merci YvesM, marco , Fluo et pldx1
    Je vais regarder tous cela à tête reposée
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  • Bonjour,

    "J'avais besoin de ce calcul, car j'ai envie donner cet exercice à des élèves "
    Mais gebrane0 ne pousse pas l'envie jusqu'à faire le calcul lui-même. Les équations lui ont été données, il suffit juste d'appuyer sur "solve" ou de faire une figure paramétrée sous Geobebra. Une pareille paresse est un pitoyable exemple pour d'hypothétiques élèves.
    Sans parler de la touche finale: "Qui peut confirmer le calcul de pldx1?" C'est tout simple: les maths, cela ne se décide pas par un vote. Si quelqu'un veut une confirmation, il lui suffit de se prendre par la main et de faire le calcul par lui-même.

    Cordialement, Pierre.
  • @pldx1
    pldx1 ecrivait a écrit:
    Mais gebrane0 ne pousse pas l'envie jusqu'à faire le calcul lui-même
    Tu confonds paresse et le fait d’être incapable de résoudre une question. J'ai bien dit des le début que je suis incapable de calculer le rayon de ce cercle car ce rayon est lié avec l'angle $\alpha$ qu'on connait pas aussi
    pldx1 ecrivait a écrit:
    Les équations lui ont été données, il suffit juste d'appuyer sur "solve"
    Ca montre que tu n'as rien compris à mon souci, le problème n'est pas de trouver ces équations mais comment les utiliser pour avoir un rayon en fonction de la longueur de la courbe et la tige
    pldx1 ecrivait a écrit:
    ou de faire une figure paramétrée sous Geobebra

    Je n'ai pas cette expérience ( ou maitrise) de Geobera ou autre logiciel pour calculer une surface sans formule
    pldx1 ecrivait a écrit:
    Sans parler de la touche finale: "Qui peut confirmer le calcul de pldx1?"
    Tu as parachuté un calcul savant sans aucune explication ni une petite indication de la méthode utilisée et puisque l'erreur est humaine et faute de vérifier ton raisonnement ( que tu l'as gardé pour toi), ne me demande pas de te croire sur paroles, c'est pourquoi j'ai demandé une confirmation
    pldx1 ecrivait a écrit:
    Si quelqu'un veut une confirmation, il lui suffit de se prendre par la main et de faire le calcul par lui-même.

    Je répète! j’étais incapable de calculer cette surface pour pouvoir vérifier les calculs par moi même
    pldx1 ecrivait a écrit:
    les maths, cela ne se décide pas par un vote
    J'ai demandé une confirmation et non pas un vote. Je voulais présenter cet exercice aux élèves pour développer l’éveil, la curiosité. Dans la cour de l'établissement privé où je donne des cours de soutiens, par coïncidence le schéma de poulbot est dessiné et justement avec un segment de 1m et un diamètre de l'ordre de 1.30m, j'ai eu l'idée de donner une corde de 3m aux élèves et de leurs demander d'essayer de trouver la plus grande surface qu'on puisse former et j'avais besoin de leur dire, sans justification, quand vous serez assez grand, vous comprendrez peut être, que cette surface maximale est de l'ordre de 1.2 $m^2$, c'est plus grand que la surface du carré de coté 1. Mais est ce que c'est l'aire de la surface dessiné sur le sol
    Je vais faire l’expérience la semaine prochaine et j'espere qu'au moins un élève aura l'idée d’épouser la corde sur le cercle tracé au sol

    edit ajout dessin dans la cours64350
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • On peut faire de l'analyse en fixant la tige $[0,1]$ et $f$ la fonction de la corde, alors l'aire est l'intégrale : $\int_0^1 f(t)dt$ et la longueur de la corde est $L= \int_f dw=\int_0^1 \sqrt{1+f'(t)^2} dt$. Il faut faire un calcul variationnel...
  • bonjour
    je corrige une coquille que j'ai écris
    alors $AIRE=\pi R^2-\frac {\theta R^2}{2}+cos\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}sin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix} .R^2\approx 1.201m^2$
    PLDX1
    surface=1.2013776207783667484
    idem pour moi
    avec
    EQ1:=$Rsin\begin {pmatrix}\frac {\theta}{2}\end {pmatrix}=\frac {AB}{2}$
    EQ2:=$2\pi R-\theta R=L$
    je trouve
    $\theta \approx 1.728radians$
    $R\approx 0.658m$
    Yves M
    on trouve alpha=2.278 radians puis R=0.66m
    bon pour R mais alpha=1.728 pour moi
  • Bonjour @fluorhydrique,

    Les notations des différents postes se sont pas identiques entre les intervenants : tous les angles notés $\displaystyle \alpha$ sur ce forum n'ont pas la même valeur.

    Dans ce cas :
    - j'utilise $\displaystyle {\sin \alpha \over \alpha} = {a \over \ell} = {1 \over 3} \implies \alpha \sim 2.278$ en radians.
    - tu utilises $\displaystyle \beta = 2(\pi - \alpha) \sim 1.728$ en radians.

    Nous trouvons bien la même solution.
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