Projet de lecture

Mathador :

Voici un passage que j'ai beaucoup apprécié lors de ma lecture de ton article :

Le groupe de Galois différentiel $ G_{ \mathrm{Gal} } $ reflète les relations algébriques entre les solutions de l'équation : $ a_n (z) y^{(n)} (z) + \dots + a_1 (z) y'(z) + a_0 (z) y(z) = 0 $ avec $ a_k (z) \in \mathbb{C} [z] $ et $ a_n (z) \neq 0 $, et leurs dérivées successives.
Moralement, plus $ G_{ \mathrm{Gal} } $ est ''gros'', moins il y'a de telles relations algébriques. Par exemple, $ G_{ \mathrm{Gal} } $ est aussi ''gros'' que possible, c'est à dire : $ \rho ( G_{ \mathrm{Gal} } ) = GL (V) $ si et seulement si $ y_1 , \dots , y_n , \partial y_1 , \dots , \partial y_n , \dots , \partial^{n-1} y_1 , \dots , \partial^{n-1} y_n $ sont algébriquement indépendants sir $ \mathbb{C} (z) $. Au contraire, $ G_{ \mathrm{Gal} } $ est fini, si et seulement si $ y_1 , \dots , y_n $ sont algébriques sur $ \mathbb{C} (z) $.

Comment vous comprenez ce passage si on passe aux extensions de Galois, par la correspondance de Galois, et on voit ce qui se passe ?

Merci d'avance. :-)

Merci Poirot, mais comment décrire ce qui se passe en allant progressivement et homotopiquement du ''plus gros'' groupe de Galois $ \mathfrak{S}_n $ au ''plus petit'' qui est le groupe trivial $ \{ e \} $ et inversement ? Toi, tu décris juste les cas extrêmes. Tu ne décris pas ce qui se passe au milieu. :-)
Qu'est ce que tu entends formellement par : (?)
''Plus le groupe de Galois est gros, moins on peut dissocier algébriquement les racines du polynôme''
écris le stp en langage mathématique pour que je puisse comprendre. :-)

Poirot a écrit:

Dans $\mathbb C$ on ne saurait distinguer algébriquement $i$ et $-i$ par rapport à $\mathbb R$ ...

Que signifie cette phrase Poirot ?
Saurait -t-on distinguer algébriquement $ i $ et $ -i $ par rapport à $ \mathbb{Q} $ ? Qu'est ce que ça veut dire ?
Mon cerveau est rouillé Poirot. Je n'arrive pas à comprendre ce que tu entends par ''Plus le groupe de Galois est gros, moins on peut dissocier algébriquement les racines du polynôme''
Cela voudrait-il dire que, ''moins le groupe de Galois est gros, plus on peut dissocier algébriquement les racines du polynôme'' ?
Alors, $\text{Gal}(\mathbb C/ \mathbb R) = \mathfrak S_2$ est moins gros, que signifie qu'on peut plus dissocier algébriquement $ i $ et $ -i $ ? Qu'est ce qui se passe lorsqu'on passe de $ \text{Gal}(\mathbb C/ \mathbb R) = \mathfrak S_2$ à $ \text{Gal}(\mathbb C/ K) $ avec : $ K \subsetneq \mathbb{R} $ au niveau des racines ? Car dans ce cas, on a : $ \text{Gal}(\mathbb C/ \mathbb R) = \mathfrak S_2 \subset \text{Gal}(\mathbb C/ K) $ plus gros . ... Deviennent-t-elles plus indépendants algébriquement ?

J'ai l'impression que ta phrase : ''Plus le groupe de Galois est gros, moins on peut dissocier algébriquement les racines du polynôme'' signifie mathématiquement : ''Plus le groupe de Galois est gros, moins les racines sont algébriquement liées ( ... par une relation algébrique si tu veux ... :-) )'' , non ?

Merci. :-)

Bonjour,

Prière de me filer les titres d'ouvrages portant sur les sujets décrits plus haut.

Merci d'avance.