Lampes défectueuses

[ Titre initial : probabilités
Précisé. voir la Charte 4.9. jacquot ]

Bonjour

voici le problème:
une lampe qui sort de l'usine a une probabilité de 10% d'être défectueuse. Quel est le nombre minimum de lampes requis pour avoir au moins 5 bonnes lampes avec une probabilité de plus de 98% ?

J'ai essayé ceci.
J'utilise la distribution négative binomiale avec les paramètres suivants: nombre de succès = 5; nombre de tentatives est inconnu (=x); probabilité d'un succès = 90%. La formule est: (combinaisons de x-1 pris 4 à 4) . 0,9 exp 5 . 0,1 exp x-5 >=0,98
Mais comment trouver x ?
Merci.
Tartuffex

Réponses

  • Mieux vaut utiliser l'approximation de la loi binomiale $B(N,0,9)$ par la loi normale. Si $\Phi(x)=\int_{-\infty}^xe^{-t^2/2}dt/\sqrt{2\pi}$ on te demande $N$ tel que
    $$\Pr(X\geq 5)=\Pr\left(\frac{X-N0.9}{\sqrt{N0.90,1}}\geq \frac{5-N0.9}{\sqrt{N0.90,1}}\right)=0,98=1-\Phi(\frac{5-N0.9}{\sqrt{N0.90,1}}).$$ D'apres les tables $\Phi(x)=0,02$ si $x=-2,5$ Je te laisse resoudre au mieux l'equation en $N$ suivante
    $$\frac{5-N0.9}{\sqrt{N0.90,1}}=-2,5.$$
  • Merci. C'est en effet plus simple comme ça.
  • bonjour

    Avec Geogebra62698
  • niveau terminale ?
  • .
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Ce qui me chagrine dans le raisonnement de P c'est qu'il approxime une loi Binomiale par une loi Normale, mais pour cela il faut des conditions:
    Dans mon cours si $N\geq 30$ , $Np>15$ et $nq>15$ on peut approximer la loi $B(N,p)$ par la loi $\mathcal{N}(Np,\sqrt{Npq}$.
    En raisonnant ainsi, P suppose déjà que $N\geq 30$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • inutile
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Pour revenir à la binomiale négatieve, je trouve cette équation:

    Cr-1x-1 . 0,95 . 0,1(x-5) = 0,98
    => (x-1)! / (4! . (x-5)!) . 0,95 . 0,1(x-5) = 0,98

    Mais comment trouver x?
  • Bonjour Tartuffex.

    Une méthode très classique : Tu calcules pour $x=5, 6, 7, \ldots$ jusqu'à avoir la bonne valeur. Tu t'aperçois alors que tu n'as jamais l'égalité, et tu reviens à un modèle plus raisonnable ($\ge 98\%$). Tu devrais alors avoir $x\ge 7$.

    La méthode de P est assez fantaisiste, elle donne $N=8$ ($N=7.897417586$ est une valeur approchée de son équation). Tout simplement parce qu'une loi binomiale n'est pas bien approchée pas une loi Normale si sont coefficient $n$ n'est pas suffisamment grand.

    Cordialement.
  • @tartufflex: je plussois l'information de gérard et sa critique du post de P pour les raisons suivantes:

    1/ on fait des maths, donc on obtient des réponses "vraies/fausses", pas du "à peu près".

    2/ La réponse à ta question est dans la question une fois précisée (car elle est vague sur les tirages au sort). Pour des valeurs numériques, il me semble raisonnable de dire qu'internet, les livres, peuvent fournir des réponses sérieuses et EXACTES!!!***** de la forme <<n est le plus petit entier tel que la proba de tirer au moins 5 bonnes lampes dépasse 0.98>>

    3/ Tu as de la chance de demander quelque chose qui concerne [size=x-large]5[/size] bonnes lampes. Mais si tu avais demandé 900000 bonnes lampes, ça aurait été plus numériquement difficile de trouver le plus petit n

    4/ Et c'est là que la proposition de P devient intéressante: les matheux ont trouvé des ordres de grandeurs à défaut de réponses exactes. Mais ces ordres de grandeurs doivent toujours être donnés avec la marge d'erreur. Je suis approximativement mulmilliardaire (ma fortune est dans $ [3.10^{10}-10^{15}, 3.10^{10}+10^{15}]$. Il me semble que Gérard n'aurait rien dit si la marge d'erreur apparaissait explicitement dans le post de P (je peux me tromper, il aurait peut-être contesté aussi à cause de 5.

    ***** ce sont des calculs extrêmement savants!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Euh .. Christophe,

    je suis d'accord avec l'essentiel de ton message, mais je dois te décevoir : Même avec une marge d'erreur, je n'aurais pas trouvé le calcul de P utile. D'ailleurs tu t'en doutais un peu ( ;-) ) Car si on connaît ces marges d'erreur pour n grand, les calculer utilement pour n très faible revient à calculer la valeur exacte (*). L'approximation de la binomiale par une Normale est asymptotique, et on connaît aussi des résultats asymptotiques sur l'erreur. L'utilisation de ces résultats concrètement nécessite que n soit raisonnablement grand.

    Cordialement.

    (*) Une erreur de 10% sur un entier de l'ordre de 7 donne quasiment l'entier.
  • Merci Gérard, pour les informations supplémentaires.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci à tous pour vos réponses.
    tartuffex
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