Dénombrement

Salut tout le monde, j'essaye de compter le nombre de points différents qu'une équipe de foot peut avoir à la fin d'une saison :

Victoire : 4pts
Nul : 2pts
Défaite : 1pt

Nombre de matchs : 22 ( poule de 12 équipes)

Je bloque car je n'arrive pas à déterminer le nombre de triplets qui donneraient à la fin de la saison le même nombre de points.

Merci de votre aide les matheux :D

Réponses

  • bonjour


    C'est le genre de problème que l'on résoud avec un programme

    En python:
     L = [0 for i in range(89)]
     for v in range(23):
    	for n in range(23):
    		for d in range(23):
    			if v+n+d == 22:
    				score = 4*v + 2*n + 1*d
    				L[score] += 1
    

    et ça donne:

    L = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 7, 8, 7, 7, 7, 7, 6, 7, 6, 6, 6, 6, 5, 6, 5, 5, 5, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 0, 1]

    Les indices du tableau L vont de 0 à 88, ce sont tous les scores possibles. Et le contenu de L à l'indice i donne le nombre de possibilité d'obtenir le score i.
    On voit que L[22] = 1, il n'y a qu'une façon d'avoir 22 points, c'est de n'avoir que des défaites
    L[88]=1, il n'y a qu'une façon d'avoir 88 points, c'est de n'avoir que des victoires
    etc
  • Posons nous la question : quels sont les triplets $(a,b,c)\in \Z^3$ tels que si on ajoute $a$ au nombre de victoires, $b$ au nombre de nuls, $c$ au nombre de défaites, le tout sans changer le nombre de matchs joués, alors le total des points reste inchangé.
    On doit résoudre dans $\Z^3$ le système
    $$\left\{ \begin{array}{rrr} a+&b+&c=0\\ 4a+&2b+&c=0\end{array}\right.$$
    Le module des solutions est $\Z(1,-3,2)$.
    On doit donc compter les triplets d'entiers positifs ou nuls de somme $22$, en identifiant deux triplets quand leur différence est un multiple entier de $(1,-3,2)$. Ceci revient à compter les couples $(a,c)$ d'entiers positifs ou nuls de somme $\leq 22$, en identifiant deux couples quand leur différence est un multiple entier de $(1,2)$.
    Un peu de réflexion nous permet de trouver un système de représentants des classes d'équivalence, et on trouve que le nombre de ces classes est 23+22+21=66.

    PS. Ce problème se résout assez facilement sans programme, donc. Mais un programme peut servir à faire une petite vérification :62280
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