Volume à calculer

Bonjour,

Prof de maths qui manque de souvenirs....
Je souhaite calculer en fonction de k le volume du solide (a-t-il un nom particulier ?) délimité par :
le plan $x+y+z=1$ et le plan $x+y+z=k (k<2)$ dans le cube unité $( 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1)$.

J'ai pensé à une intégrale triple sans parvenir à écrire la fonction à intégrer.
Par ailleurs, un calcul sans intégrale m'intéresserais mais je aucune piste de départ .
Je dois obtenir $\mathcal{A}=0,5(-\dfrac{2}{3}k^3+3k^2-3k)$ si je ne m'abuse.
Merci pour votre aide.
Les statistiques sont vraies quant à la maladie et fausses quant au malade.

Réponses

  • Bonjour,

    Prof de maths qui manque de souvenirs....
    Je souhaite calculer en fonction de k le volume du solide délimité par :
    le plan x+y+z=1 et le plan x+y+z=k (k<=2) dans le cube unité ( 0<=x<=1, 0<=y<=1, 0<=z<=1).

    J'ai pensé à une intégrale triple sans parvenir à écrire quelque chose de correct.
  • Un calcul de $\mathcal{A}=0,5(-\dfrac{2}{3}k^3+3k^2-3k)$ pour $k=1$ m'intéresserait.
  • Bonjour
    un calcul sans intégrale est préconisé pour sa simplicité
    et distinguer deux cas
    -le cas où les deux plans se coupent dans le cube
    -le cas où les deux plans ne se coupent pas dans le cube
  • Calculons le volume de la portion de cube comprise "sous" le plan $x+y+z=k$, avec $1\leq k\leq 2$ :
    Une grande pyramide, de base un triangle équilatéral de côté $k\sqrt 2$ et de hauteur $\dfrac{k}{\sqrt3}$, moins trois petites pyramides de bases des triangles équilatéraux de côté $(k-1)\sqrt{2}$ et de hauteurs $\dfrac{k-1}{\sqrt3}$
  • Si $1<t<2$, l'intersection du cube avec le plan d'équation $x+y+z=t$ est un hexagone convexe dont les côtés opposés sont parallèles, et dont tous les angles mesurent $ \frac {2 \pi} {3}$. Soit $S(t)$ l'aire de cet hexagone. Alors le volume cherché est : $\displaystyle V=\int_{1}^{k}S(t)dt$.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Moyennant une constante additive oubliée :
    $\mathcal{A}=0,5(-\dfrac{2}{3}k^3+3k^2-3k+\dfrac{2}{3})$.
  • Chaurien écrivait:
    > Si $1<t<2$, l'intersection du cube avec le plan
    > d'équation $x+y+z=t$ est un hexagone convexe dont
    > les côtés opposés sont parallèles, et dont
    > tous les angles mesurent $ \frac {2 \pi} {3}$.
    > Soit $S(t)$ l'aire de cet hexagone. Alors le
    > volume cherché est : $\displaystyle
    > V=\int_{1}^{k}S(t)dt$.
    > Bonne journée.
    > Fr. Ch.


    J'avais vu cette intégrale avec l'hexagone dont le calcul de l'aire demande un peu de calcul.
    Une des questions que je me pose :
    Existe-t-il une méthode (avec moins de calcul) avec une intégrale triple avec une fonction à intégrer ?
    Michaël
  • Taratata, Chaurien, un hexagone régulier ? qui tend vers un triangle équilatéral quand $t$ tend vers $1$ par valeurs supérieures ? :-D
    Bon, Chaurien a effacé sa grosse bourde.

    PS. J'ai donné une méthode de calcul sans intégrale (pourvu qu'on sache calculer l'aire d'un triangle équilatéral et le volume d'une pyramide).
  • @GBZM
    Oui, j'ai effacé avant de voir ta correction attentive, j'avais confondu les coordonnées des sommets avec les longueurs des côtés. J'en avais tellement envie, de cet hexagone régulier... En 1968, on disait : prenez vos désirs pour des réalités ;-).

    En fait cet hexagone est régulier pour $t=\frac 12$. Cela sert pour le groupe des isométries du cube, il me semble. Pour le peu de chimie que je sais il me semble aussi que ça a quelque chose à voir avec la répartition des atomes dans une molécule (un cristal ?) de chlorure de sodium, mais je n'en jurerais point.

    Bravo pour ta solution sans rien. Mais l'aire de cet hexagone dont on connaît les côtés et les angles, réunion de deux trapèzes isocèles, ce n'est pas très dur, et une intégrale simple non plus.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • On a $S \left( 1 \right) =S(2)=\sqrt {3}/2$ (triangles équilatéraux) et $S \left( 3/2 \right) =3/4\,\sqrt {3}$ (hexagone régulier).
    Donc $S(x)=\sqrt 3 \; (-{x}^{2}+3\,x-3/2) $. Et, au moment d'intégrer, il ne faut pas oublier de se débarrasser de ce $\sqrt 3$ !
  • Merci GaBuZoMeu, j'ai retrouvé les résultats énoncés.
    Pour les petites pyramides je préfère considérer une autre face pour base triangle rectangle isocèle avec base et hauteur très simple.

    Fr Ch.,merci , j'ai également obtenu l'aire de l'hexagone en fonction de k.

    Avant de fermer ce post, je vais reformuler ma question:
    Aucune méthode d'intégrale triple pour calculer un volume coincé dans un cube et deux plans parallèles ( non parallèles à des faces du cube)?
    Bonne soirée.
  • Bonsoir
    Il n'y a pas besoin de chercher des calculs de volume pour se casser la tête!
    On peut tout aussi bien calculer l'aire d'un triangle au moyen d'une intégrale double!
    C'est ce qu'aurait fait le Savant Cosinus dans la salle d'attente de son dentiste!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour,

    A nouveau, la formule $\displaystyle V=\int_{1}^{k}S(t)dt$ est fausse.

    Cette formule équivaut à couper un triangle en tranches parallèles à la base, puis à sommer ces tranches le long de la médiane ou d'une quelconque autre sécante. Mais il est bien connu que l'épaisseur d'une tranche de salami se mesure perpendiculairement aux traits de couteau: la sommation doit se faire le long de la hauteur.

    Cordialement, Pierre.
  • Bonjour

    k représente une longueur alors je ne comprends pas pourquoi il y a des termes en k et en k² dans l'expression du volume.
  • La portion du domaine $y\geq x^2$ située sous la droite $y=k$ est d'aire $\dfrac43 k^{3/2}$. Encore plus étonnant, n'est-ce pas ?

    P.S. Plus sérieusement, si tu veux employer un argument d'homogénéité, alors tu dois partir avec un cube de côté $\ell$. Alors tu verras que le $k$ est en fait un rapport de longueurs, et que le volume de la portion de cube qu'on considère est $\ell^3$ fois le nombre qui a été donné en fonction de $k$.
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