CAPES 2017
Réponses
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D'ailleurs, quitte à ressortir les marronniers, s'il faut mettre "des bons" (triple guillemets, c'est une formule) devant les élèves, alors il faut encourager à mettre des agrégés...au collège !
Bon, c'est vrai, on a perdu l'fil... -
Les vieux griboux qui balancent sur les pauvres candidats du capes 2017 que nous sommes. Proposez-nous plutôt une correction complète et détaillée afin que nous progressions !!!
Je ne sais pas si vous êtes prof, mais lire vos commentaires aigris ça ne donne pas envie d'avoir des collègues comme vous ...
Je passe le 3eme concours Et j'ai galéré sur le problème 2 hier car c'était très long ... j'aurais aimé vous y voir.
Un job à temps plein 2 bébés pas toujours facile de préparer le concours... Quand je vois le sujet je me dis que j'aurais pu en faire plus mais j'ai manqué de lucidité sur la dernière heure et demi. Mais quand je vois les commentaires de certains qui dénigrent leurs futurs collègues je suis outrée. -
@parisse sur la question de prouver que la méthode des trapèzes est meilleure pour ce cas (IV.3)
J'imagine que c'est n'importe quoi, mais voici ce que je me suis dit:
Pour le haut:
- Tenter de borner "par morceau" la dérivé de la différence entre la fonction phi et la fonction constante sur cet intervalle. Puis se servir de l'inégalité des accroissements finis pour borner l'écart. Et du fait que la fonction est strictement décroissante. Et essayer de prouver une borne de la dérivée en constatant qu'elle est strictement décroissante également.
Pour le bas:
- Un résultat de convexité (le chemin le plus court entre 2 sommets est toujours en dessous de la courbe, et plus proche de la courbe que la somme des rectangles inférieurs).
C'est ce que je me suis pensé, durant le concours. Et c'est là, que j'ai abdiqué : je me suis dit.. "pffiou trop long, je suis déjà hyper en retard et je ne sais plus rien faire correctement..
non vraiment, je ne suis pas prêt pour être professeur de math."
Si je suis admissible, cela va être le massacre total à l'oral. Car si je suis Bac+5, ce n'est pas en math. J'ai appris des tonnes de choses pour passer ces écrits, mais mal, et là, je vois bien à quel point je suis "loin...." -
delphdo a écrit:ça ne donne pas envie d'avoir des collègues comme vous ...
lol ... y en a qui s'y croit déjà ...
de plus, 'être collègue' ça ne veut pas dire 'être marié(e)' ... les autres ne te doivent absolument rien ...
dernière chose : bonne (hypothétique) chance avec les boeuf-carottes, parce que, eux, ne sont pas tes collègues ...
ps : pas d'inquiétude de mon côté, aucune chance qu'on soit collègue ... -
@ delphdo.
Je te confirme, c'était très long. De plus il fallait se demander comment rédiger des questions dont la réponse apparait évidente tout en essayant de présenter quelque chose qui tient debout. Au-delà de "c'est évident". Les questions que doit se poser le candidat sont :
* ai-je répondu à la question ?
* ai-je apporté quelque chose de plus que ce qu'il y avait dans l'énoncé ?
Facile à dire. Moins facile au pied du mur.
En voulant introduire de force des questions comme A.IV dans le deuxième problème, ou des questions de rhétorique comme III.1 et III.7 dans le premier problème, il est facile de perdre le fil.
Au passage la réponse à la question III.7 est : "À rien". Les résultats de III2 et III.3 suffisent pour établir la convergence des suites \( \overset{\small\wedge} s(n) \) et \( \overset{\small\vee} s(n) \) vers \( \mathcal A \). La question III.6. n'apporte rien de plus sur la convergence de ces suites.
La question IV.3. me parait très compliquée comme je l'ai déjà dit.
Quand à la question V.3. c'est tout un poème.
Pour tout boucler en cinq heures, il fallait piétiner des questions comme D.I sans état d'âme et oublier d'aller pisser.
Bref, sauve qui peut, chacun pour soi et qui c'est qui a laissé traîner son râteau au milieu du chemin.
Bon courage pour la suite, laisse causer ceux qui se croient obligés de penser à ta place et à bientôt à Nancy.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
pourquoi tant de gens - hors maths viscéralement dans le sang - passent-ils les concours maths ??? y z'ont aussi besoin de bonhommes en filière lettres, économie, physique, etc (que sais-je encore), non ??? surtout que j'imagine que les cours de physique, chimie, technologie doivent être davantage sinistrés que ceux de maths ...
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Ezmaths:
Probablement parce que c'est la filière (ou au moins une des filières) qui offre le plus de postes au concours (mais qui ne seront pas tous pourvus)
Le but étant, il ne faut pas l'occulter, de trouver un emploi et il faut accepter de se voir obligé de déménager avec toutes les conséquences qui en résultent.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
will: oui, pour les rectangles inferieurs, on peut utiliser la concavite de la fonction pour dire que les trapezes sont en-dessous de la courbe et la decroissance de la fonction pour dire que les trapezes sont au-dessus du rectangle a droite.
C'est le cas des rectangles superieurs qui semble delicat, je n'ai pas compris votre idee. Apres le DL (qui donne assez facilement le resultat sur les subdivisions en-dehors d'un voisinage de 1), j'ai essaye de majorer la difference d'aire integrale-trapeze par le triangle A(a,f(a)), B(a+h,f(a+h)), intersection D des tangentes en a et a+h, puis comparer avec l'aire de ADBCA avec C(a+h,f(a)), mais je n'aboutis qu'au prix de calculs vraiment trop compliques. -
Bonjour,
Merci à delphdo pour son intervention et à ev pour son analyse objective et rassurante. Cela me rassure, même si je pense honnêtement ne pas être admissible. L'on verra l'an prochain, à condition que le 3ème concours existe encore.
Bien cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
ezmaths écrivait:
> pourquoi tant de gens - hors maths viscéralement
> dans le sang - passent-ils les concours maths ???
Existe-t-il 1500 personnes en France par an qui ont "viscéralement les maths dans le sang" (je vous laisse le soin de préciser cette définition) ET la vocation d'être professeur ET la liberté (ou le souhait) d'avoir une première affectation à des centaines de kilomètres de leur lieu d'habitation ET qui trouvent correct d'être rémunéré 1500 euros par mois à bac+5 ?
Je trouve une peu léger de la part d'une sommité en mathématiques comme vous d'admettre cette existence plutôt que d'en proposer une preuve rigoureuse... 8-)
Et je rejoins l'analyse d'ev. Concernant D.I, cela m'a paru être l'application immédiate de B.IV.2 ? Le devoir était long car il fallait sans cesse redémontrer le même résultat. -
parisse: Merci!! Grâce à vos notations, c'est beaucoup plus clair. En fait, vous avez fait 'de manière plus correcte' ce que je pensais faire.
Je pensais majorer l'écart entre la courbe et le trapèze, et ensuite minorer l'écart entre la courbe et le rectangle supérieur. Avec ça:
soit f(x) une fonction continue sur [a,b], dérivable sur un intervalle ]a,b[, telle que m < f'(x) < M
alors m*(b-a) < f(b)-f(a) < M*(b-a)
C'est moins puissant que ce que vous avez fait avec le DL non?
Par contre, après avoir dormi... je pense que c'est beaucoup plus simple :
Avec vos notations.. (f(x)=sqrt(1-x^2))
f'(a) est un majorant de f'(x) sur l'intervalle (a,a+h), car f''(x) est négative et décroissante (convexité).
Cela permet d'avoir un majorant de l'écart entre la courbe et un point du segment du trapèze.
M = f'(a) * h, sur l'intervalle [a,a+h], ce majorant est atteint en x = a+h.
On fait un "trapèze" qui part du point f(a), avec la tangente en a, de pente f'(a), c'est possible pour tous les indices , y compris le dernier trapèze.
Ce nouveau trapèze est d'aire supérieure au trapèze d'origine.
Ce nouveau trapèze doit rester inscrit dans le rectangle supérieur pour être un minorant de l'écart entre la courbe et le rectangle sup (ce qu'on peut affirmer par convexité)
édit: comme le souligne parisse, cela ne suffit pas du tout pour prouver que l'écart entre le rectangle supérieur et la courbe est supérieur à l'écart entre la courbe et le trapèze d'origine. Donc, cela n'aide pas.
On doit pouvoir conclure que si la fonction ne change pas de concavité sur l'intervalle ouvert considéré, la méthode des trapèzes est meilleure que la méthode des rectangles.
édit: on ne conclut ... rien. -
will: il ne suffit pas de rester inscrit dans le rectangle gauche, ce qu'on veut c'est que la difference entre le rectangle gauche Rd et l'aire I (eventuellement majoree) du morceau de courbe soit plus grande que la difference entre I et les trapezes.
D'ailleurs on me glisse dans l'oreillette que les trapezes ne sont pas toujours plus precis, en effet s'il y a une seule subdivision, le rectangle gauche (1) est plus proche de l'aire du quart de cercle (pi/4) que le trapeze (1/2), puisque pi>3. -
Bonjour à tous,
Je n'ai pas réussi à démontrer que les deux suites s(2^n) étaient adjacentes dans le sujet 2, problème 1, question III.6). Le fait que leur différence tende vers 0 est immédiat grâce à la question III.3 (s_dessus(n) - s_dessous(n) = 1/n). Par contre je ne parviens pas à prouver rigoureusement que l'une croît et que l'autre décroît. Une âme charitable pour m'aider ?
Merci. -
Bonjour nguaphap et bienvenue.
Il s'agit de montrer que les suites \( \overset{\small\wedge} s\left(2^n\right) \) et \( \overset{\small\vee} s\left(2^n\right) \) sont adjacentes. Cela se voit bien sur un dessin qui coupe les rectangles en deux.
Pour ce qui est de \( \overset{\small\wedge} s\left(n\right) \) et \( \overset{\small\vee} s\left(n\right) \) adjacentes, c'est effectivement une autre paire de manches.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Probablement l'utilisation du fait déjà mentionné que la fonction $\Phi$ est concave et du fait que pour passer à la subdivision "$2^{n+1}$" en partant de la subdivision "$2^{n+1}$" on rajoute les points qui sont les milieux des segments constitués par deux points qui se suivent de cette dernière.
Il faudrait regarder ça en détail.
Je me demande bien ce qu'attend comme réponse le correcteur au point 1) de cette question iii). B-)-Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Merci ev pour ton message de bienvenue. Désolé pour la forme de mon message, je n'ai pas encore pris le temps d'apprivoiser LateX, mais ça ne saurait tarder.
Ok Fin de Partie, je te remercie pour cette piste intéressante, je m'en vais de ce pas creuser l'idée.
nguaphap -
On peut peut-être faire plus simple.
La fonction $\Phi$ est décroissante, sa fonction dérivée est donc négative et on a le théorème dit des accroissements finis
( https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_accroissements_finis ) qui est sans doute utile pour faire les évaluations nécessaires.
PS:
Je crains que la concavité soit nécessaire.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Soit $n$ un entier naturel.
On s'intéresse à ce qui se passe pour la subdivision $2^n$, c'est à dire à l'aire sous la courbe délimitée par les droites d'équation
$x=\dfrac{k}{2^n}$ et $x=\dfrac{k+1}{2^{n}}$ avec $k$ entier compris entre $0$ et $2^n$, et $y=0$.
1) la fonction $\Phi$ est strictement décroissante donc $\Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)< \Phi\left(\dfrac{k}{2^{n}}\right)$
L'aire du rectangle sous la courbe qui correspond au segment $\left[\dfrac{k}{2^n};\dfrac{k+1}{2^{n}}\right]$ a, sauf erreur, pour valeur:
$\dfrac{1}{2^n}\Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)$
Quand on passe à la subdivision $2^{n+1}$ de l'intervalle $[0;1]$ cela revient à ajouter aux points de la subdivision $2^n$ de l'intervalle $[0;1]$ les milieux respectifs des segments ayant pour extrémités deux points consécutifs de cette dernière subdivision.
Ce qui fait que pour obtenir $\check{s}(n+1)$ on remplace dans la somme qui définit $\check{s}(n)$ l'aire des petits rectangles associés à un intervalle par la somme de deux petits rectangles donc l'aire totale est:
$\dfrac{1}{2^{n+1}}\Phi\left(\tfrac{\tfrac{k}{2^{n}}+\tfrac{k+1}{2^{n}}}{2}\right)+\dfrac{1}{2^{n+1}} \Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)$
En utilisant la concavité de $\Phi$ on peut minorer par:
$\dfrac{1}{2^{n+2}}\Phi\left(\dfrac{k}{2^{n}}\right)+\dfrac{1}{2^{n+2}}\Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)+\dfrac{1}{2^{n+1}} \Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)=\dfrac{1}{2^{n+2}}\Phi\left(\dfrac{k}{2^{n}}\right)+\dfrac{3}{2^{n+2}} \Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)$
On utilise 1), on a donc que cette dernière expression est minorée par:
$\dfrac{4}{2^{n+2}} \Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)=\dfrac{1}{2^{n}} \Phi\left(\dfrac{k+1}{2^{n}}\right)$
C'est ce qu'on voulait démontrer.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
parisse:
J'appelle "courant" toute figure située sur l'interface [a,a+h]
Le trapèze dont je parle est inscrit dans le rectangle supérieur "courant", qui utilise f(a) comme
ordonnée maximale.
C'est un trapèze supplémentaire qu'on crée artificiellement pour borner l'écart entre la fonction et le trapèze "courant" formé par la moyenne arithmétique entre f(a) et f(a+h).
[avec le théorème des accroissements finis on prouve que f'(a)*h + f(a) est supérieure à f(a+h), (et aussi inférieure à f(a), car f décroissante]
C'est le trapèze dont le coté supérieur va du point
( a, f(a) ) au point ( a + h, f ' (a) * h + f(a) )
Je pense que cela suffit largement, j'ai fait un dessin.. je vois pas trop comment le fournir par contre, mais si tu le voyais tu comprendrais immédiatement que c'est trivial avec ce nouveau trapèze pour borner l'erreur. Car il est supérieur à la courbe (prouvé par la convexité), tout en étant inscrit dans le rectangle supérieur "courant".
edit: effectivement, très fausse piste, désolé! Cela ne prouve pas ce qu'on cherche.. et c'est même pire.
j'obtiens une condition qui est fausse ... c'est inutile.
@fin de partie:
oui, c'est ce que j'essaye de dire dans le message précédent, au dessus. , erreur aussi, de ma part, je ne parlais pas de la même question...
bon.. je sors. et je vais retourner à l'entraînement. -
Dom écrivait:
> Dans un espace Euclidien, le théorème de
> Pythagore va tout seul.
> Il suffit d'écrire les choses.
Effectivement.
Et, dans ce cas, pas la peine de mettre des guillemets autour du mot "démonstration". C'est simple et direct.
Ceci dit, enseignant en préparation au Capes (de maths) je sais bien que ce n'est pas présenté comme cela en 3ème ou 4ème.
<<Combien de gens savent que le théorème de Pythagore est en réalité une égalité sur des aires?>>
Mais combien de gens peuvent-ils m'expliquer, en restant en 4ème ou 3ème ce qu'est une aire et une mesure d'aire ???
Il ne s'agit bien entendu pas de vouloir tout démontrer au collège. Sans doute vaut-il mieux savoir d'où cela vient quitte à le faire admettre aux élèves. -
Merci pour ta démonstration Fin de Partie. En partant de ton idée ( la subdivision au rang $n+1$ contient tous les points de la subdivision au rang $n$, plus $2^n$ nouveaux point qui sont les milieux des segments que tu évoques), j'ai trouvé cette solution, en décomposant la somme $\overset{\small\vee} s\left(2^n\right)$ en deux autres sommes :
$\overset{\small\vee} s\left(2^{n+1}\right) = \dfrac{1}{2^{n+1}} \sum\limits_{i=1}^{2^{n+1}} \Phi\left(\dfrac{i}{2^{n+1}}\right)$
$\overset{\small\vee} s\left(2^{n+1}\right) = \dfrac{1}{2^{n+1}} [\sum\limits_{i=1}^{2^{n}} \Phi\left(\dfrac{2i}{2^{n+1}}\right) + \sum\limits_{i=1}^{2^{n}} \Phi\left(\dfrac{2i-1}{2^{n+1}}\right)]$
$\overset{\small\vee} s\left(2^{n+1}\right) = \dfrac{1}{2^{n+1}} [\sum\limits_{i=1}^{2^{n}} \Phi\left(\dfrac{i}{2^{n}}\right) + \sum\limits_{i=1}^{2^{n}} \Phi\left(\dfrac{i}{2^{n}}-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)]$
Or $\Phi\left(\dfrac{i}{2^{n}}-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right) \ge \Phi\left(\dfrac{i}{2^{n}}\right)$ car $\Phi$ est décroissante sur $[0;1]$, d'où
$\overset{\small\vee} s\left(2^{n+1}\right) \ge \dfrac{1}{2^{n}} \sum\limits_{i=1}^{2^{n}} \Phi\left(\dfrac{i}{2^{n}}\right) \ i.e\ \overset{\small\vee} s\left(2^{n+1}\right) \ge \overset{\small\vee} s\left(2^{n}\right)$, d'où la croissance de la suite $\left(\overset{\small\vee} s\left(2^{n}\right)\right)$, et certainement la décroissance de $\left(\overset{\small\wedge} s\left(2^{n}\right)\right)$ par un calcul similaire.
nguaphap -
Papy:
Tu crois qu'en 4/3 ème on ignore ce qu'est l'aire d'un carré?
"Le" théorème de Pythagore peut s'énoncer de cette façon:
L'aire du carré de côté l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés ayant pour côté les deux autres côtés de ce triangle.
Will:
Je n'avais pas tout lu les messages.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
De mon tabouret de bar (tablette etc. j'ai pris un cliché par ici et hop), je propose pour deux éléments orthogonaux.
C'est le sens direct. -
Dom:
C'est la preuve que tu veux donner à un élève de 4ème et qu'on trouve dans son manuel de mathématiques.
Parce que j'imagine ce théorème apparait dans les programmes pour la première fois en 4ème?
Après quelques années de fac' la preuve que tu mentionnes est la seule qui reste dans la tête d'un étudiant je suis prêt à le parier et après on veut nous faire croire qu'un étudiant peut enseigner en collège avec son beau diplôme tout neuf de master de mathématiques pures ? :-DLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonjour,
Pour la question sur la croissance/décroissance des s(2^n), ne suffisait-il pas (par un calcul rapide, chgmt changement d'indices dans les sommes...) de montrer que les s(n) étaient croissantes/décroissantes, puis de conclure que les s(2^n) sont de même monotonie en tant que suites extraites (n-->2^n) ?
Merci de votre réponse éclairée, et désolée pour l'erreur de raisonnement sous jacente que vous allez mettre en évidence.
Mais je voudrais savoir. Merci -
@fdp
Si tu lis bien les échanges,tu verras qu'il n'est pas question dans ma réponse de se placer au collège.
Pour ce qui est des étudiants, et de ce qu'ils retiennent, tu dois avoir raison sur une bonne majorité.
Mais certains se souviennent de plein de choses et ces choses sont fixées par les prepa CAPES (agreg aussi mais moins en ce qui concerne la géométrie du collège). -
Et voilà, c'est le pipeau attendu. Qu'est-ce que le fameux $\left \Vert x_1 \right\Vert^2 $ ? Eh bien, on prend une base orthonormée $e_1, e_2$, on décompose $x_1=p \, e_1+q\, e_2$, $x_2=r \, e_1+s\, e_2$ et l'on définit $\left \Vert x_1 \right\Vert^2 $ et $\left \Vert x_2 \right\Vert^2 $ par $$ \left \Vert x_1 \right\Vert^2 \doteq p^2 + q^2 \;;\;
\left \Vert x_2 \right\Vert^2 \doteq r^2 + s^2$$
Autrement dit, on embarque le "Théorème de Pythagore" comme un axiome de la théorie. Ensuite de quoi, on est bien obligé d'utiliser cette même définition pour obtenir: $$ \left \Vert x_1+x_2 \right\Vert^2 \doteq (p+r)^2 + (q+s)^2 $$
Dans ce contexte, présenter $ \left \Vert x_1+x_2 \right\Vert^2- \left \Vert x_1 \right\Vert^2 -\left \Vert x_2 \right\Vert^2 = 0 $ si et seulement si $ \left \Vert x_1+x_2 \right\Vert^2- \left \Vert x_1 \right\Vert^2 -\left \Vert x_2 \right\Vert^2 = 0 $ comme une "preuve de l'axiome de Pythagore" semble canulardesque.
Ce qui reste de tout cela, c'est qu'une fois admis la formule de Pythagore comme axiome, il ne reste plus qu'à utiliser $pr+qs=0$ comme condition pour qu'il y ait un angle droit. Cela s'appelle polariser la forme quadratique.
Cordialement, Pierre. -
Heemy:
Crois-tu que les propriétés de la fonction $\Phi$ n'interviennent pas dans les propriétés de monotonie sur les suites considérées?
PS:
J'indique ce PDF et j'en profite pour rendre un hommage du même coup:
http://www.daniel-saada.eu/fichiers/27-Sommes-de-Riemann-2.pdf
Il me semble que cela répond à la question soulevée par Heemy sur le fait que ces suites ont un comportement qui ne dépendrait pas des propriétés de régularité de la fonction $\Phi$.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Et bien, comme par les changement d'indices, je ne compare que des somme de \phi(x_i); qui sont tous positifs, comme j'arrive a des facteurs.. j'ai le signe de s(n+1)-s(n) d'ou la monotonie.. je ne vois pas je suis désolée..
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@pldx1
Oui et non...
Pas besoin de définir des formules pour le produit scalaire. Même pas besoin de parler de base orthonormée.
C'est juste une f.b.s. (définie positive).$||x||^2$ est juste une notation pour $(x,x)$ (mais je n'écris pas cela pour toi, je sais que tu sais tout cela, non ?).
Le "pipeau", l'arnaque, ou je ne sais quel substantif utiliser, c'est de choisir $(x,y)=0$ pour que "ça marche".
Mais cela était annoncé dans les discussions : "si l'espace est Euclidien, alors ça va tout seul". -
Merci pour le lien
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Fin de Partie a écrit:Il me semble que cela répond à la question soulevée par Heemy sur le fait que ces suites ont un comportement qui ne dépendrait pas des propriétés de régularité de la fonction phi.
Je ne dis pas ça du tout dans le cas général... Mais ici on avait un pb problème bien précis... -
Bonsoir heemy.
Ton raisonnement est parfaitement correct.
Si la suite $(s(n))_n$ est croissante, alors $(s(2^n))_n$ l'est aussi.
Le problème est que la croissance de $(s(n))_n$ n'est pas démontrée.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci. J'ai étudié la croissance des s(n) par une étude du signe de s(n+1)-s(n) et si je n'ai pas fait d'erreur, cela coulait grâce aux prop de positivité de phi sur [0,1]. Donc je pense que "modulo une erreur" mais je ne pense pas, c'est bon
. En vous remerciant. -
Bonsoir heemy,
Pourrais-tu donner quelques explications sur la croissance de s(n) s'il te plaît ? Merci d'avance.
nguaphap -
Effectivement, la croissance de $s(n)$ ne pose pas de grosses difficultés.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ev:
Je suis curieux de voir prouver cette assertion. :-D
Heemy m'a donné une idée.
Pour démontrer très simplement que $\check{s}(2^{n+1})>\check{s}(2^n)$ pour $n\geq 1$.
Sauf erreur,
$\begin{align}\check{s}(2^n)&=\dfrac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{1-\tfrac{k^2}{(2^n)^2}}\\
&=\dfrac{1}{2^{2n}}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{2^{2n}-k^2}
\end{align}$
$\begin{align}\check{s}(2^{n+1})&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{2^{n+1}} \sqrt{1-\tfrac{k^2}{(2^{n+1})^2}}\\
&=\dfrac{1}{2^{2(n+1)}}\sum_{k=1}^{2^{n+1}} \sqrt{2^{2(n+1)}-k^2}\\
&=\dfrac{1}{2^{2(n+1)}}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{2^{2(n+1)}-(2k)^2}+\dfrac{1}{2^{2(n+1)}}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{2^{2(n+1)}-(2k-1)^2}\\
&=\dfrac{1}{2^{2n}}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{2^{2n}-k^2}+\dfrac{1}{2^{2(n+1)}}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{2^{2(n+1)}-(2k-1)^2}\\
\end{align}$
et donc, $\displaystyle \check{s}(2^{n+1})-\check{s}(2^n)=\dfrac{1}{2^{2(n+1)}}\sum_{k=1}^{2^n} \sqrt{2^{2(n+1)}-(2k-1)^2}>0$Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bon, je pense avoir une preuve acceptable pour montrer que les trapezes sont plus precis.
Je note R les rectangles superieurs (a gauche), I l'integrale et T les trapezes, h le pas de la subdivision. Sur [a,b] inclus dans [0,1], on a par concavite et decroissance 0<= I-T <= R-T. Pour avoir les trapezes plus precis, il suffit de prouver que I-T<=1/2*(R-T).
Or R-T=h/2*(f(a)-f(b)). Donc sur [0,1], R-T=h/2.
On va majorer I-T en decoupant l'intervalle en 2 morceaux en a=1-k*h pour k entier>1. Sur [0,a], f(x):=sqrt(1-x^2) est de classe C2, on peut majorer l'erreur des trapezes par M2/12*h^2*a ou M2 est le max de |f''| sur [0,1], equivalent a C1*h^2*(h*k)^(-3/2) pour h*k=o(1). Sur [a,1], on majore I-T par R-T=h/2*f(a) equivalent a C2*h^3/2*k^1/2 (pour h*k=o(1)). On a donc un majorant de I-T sur [0,1] de la forme
h^(1/2)*(C1*k^(-3/2)+C2*h*k^(1/2))
Il suffit alors d'egaler les puissances de h, i.e. prendre k equivalent a h^(-1/2), pour avoir un majorant de I-T en h^(5/4). Comme I-T est un O(h^(5/4)) et R-T=h/2, on conclut. -
Bonjour à tous,
Il fallait simplement remarquer que fi (xn) = fi (1) = 0 et fi (0) = 1. On a s~(n) = 1/n somme (i de 0 à n de fi (xi) ) - 1/n.
s^(n) = 1/n somme ( i allant de 0 à n de fi (xi) ).
D'où : s^(n) = { [ s^(n)+ s~(n)]/2 - 1/2n } et s~(n) = { [s^(n) + s~(n)]/2 + 1/2n }. On prouve aisément que s~(n) - s^(n) = 1/n
D'ailleurs vous remarquerez l'idée d'introduire la suite s(n) = (s~(n) + s^(n) )/2.
Pour montrer que les suites sont adjacentes, cela devient trivial :
En remarquant que s~(n+1) - s~ (n ) > 0 et s^(n+1) - s^(n) < 0. La question III.6 s'en deduit.
Pour répondre à la question IV3. On reprend l'encadrement de A, avec les nouvelles expressions de s~(n) et s^(n)
Donc ( s(n) + 1/2n < = A < = s(n) - 1/2n )
Le théorème d'encadrement permet de conclure que A tend vers s(n).
D'où la meilleure approximation -
Si l'on montre :
$$\forall n\geq 2,\ |A-s(n)| \leq |A- \widehat{s}(n)|$$
ça ne nous dit pas que $s(n)$ est une meilleure approximation que $\widehat{s}(n)$ ? -
Ma Pomme a écrit:Effectivement, la croissance de $s(n)$ ne pose pas de grosses difficultés.
Mouais. Sauf qu'en transférant mes calculs d'un coin de table - où ils avaient manifestement croisé des points de belote - vers un autre coin de table, ma minoration s'est un peu cassé la gueule. La croissance de $s(n)$ reste ouverte, du moins pour moi.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Calivernon écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1436896,1439338#msg-1439338
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est l'idée que j'ai eu pendant l'épreuve, mais comme il était déjà midi, que j'avais absolument très faim, que le soleil me tapait fort dans le dos depuis 2heures, que des lycéens gueulaient dans la cour et qu'il me restait encore une vingtaine de question plus accessible, j'ai préféré seulement indiquer que s(n) était une meilleure approximation. -
Question à part, savez vous quand nous recevrons les résultats des écrits ?
Histoire d'acheter les billets d'avion pas trop tard et organiser le séjour à Nancy si il à lieu obv. (from 972) -
Frostt, d'après plubinet, les résultats sont le 23 Mai, et l'oral du 12 juin au 5 juillet si ma mémoire est bonne
-
La question de meilleure approximation de A je la comprends comme Calivernon.
Il me semble à peu près clair que $A$ est compris entre $s(n)$ et $\widehat{s}(n)$ pour tout $n\geq 2$.
Mais est-ce plus près de l'un ou de l'autre pour TOUT $n\geq 2$?
PS:
Quand on s'intéresse au calcul de valeurs approchées d'intégrales on s'en moque un peu qu'on puisse répondre pour tout $n$ à cette question, seules les grandes valeurs de $n$ sont intéressantes. Mais ici la formulation de la question semble appeler une réponse pour TOUT n plus grand que $2$.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
mikemike a écrit:j'ai préféré seulement indiquer que s(n) était une meilleure approximation.
Tu as donc répondu de façon conforme à la question posée par l'énoncé (indiquer la meilleure approximation....).
La question aurait dûe être posée ainsi : "Quelle est la meilleure approximation ? LE DEMONTRER"Liberté, égalité, choucroute. -
Il y en a marre d'être obligé de cacher 9 messages hors du sujet de la discussion !
AD
PS. Samok reconnaîtra le style de la tentative de déviation de la discussion. -
A peine 3 semaines pour organiser toute cette expédition, ça me semble court.
L'attente des résultats va, elle aussi, être longue
-
J'ai quelques questions sur le problème 2 de l'épreuve 1 options maths, y'a un ou 2 liens que je ne vois pas.
Question III 7, je ne vois que la fonction inverse qui convient, mais je ne comprends pas le lien avec ce qu'on a fait sur les points fixes.
Et la question IV, je ne comprends pas du tout, c'est pas la même que la III 7 ? Ou alors ils veulent qu'on prouve jusqu'à la partie III que la seule qui convient est la fonction inverse, et à la partie IV on vérifie qu'elle convient bien ?
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