groupe à système fini de générateurs

Je comprend la question. Evidemment c'est vrai pour des groupes fini.
C'est vrai aussi pour $\Z$ avec l'addition puisque les sousgroupes sont (0) et (a), a $\neq$ =0, donc isomorphes avec (0) ou $\Z$ (2 classes de sousgroupes isomorphes).

Mais en generale, je ne sais pas.

Michiel

Re-bonjour,

Après réflexion, je crois avoir une démonstration.

On considère le revêtement
$$
\begin{array}{r|ccl}
\PP^1-\{0,\mu_N,\infty\} & \to & \PP^1-\{0,1,\infty\} \\%
z & \mapsto & z^N
\end{array}
$$
où $\mu_N = \{\zeta_N^i\}$ est le groupe des racines de l'unités et $\PP^1$ la droite projective complexe, i.e. la sphère.

On peut identifier le groupe fondamental de $\PP^1-\{0,\mu_N,\infty\}$ au groupe libre $F_{N+1}$ en choisissant pour générateurs les boucles $x_0$ autour de $0$, et $x_i$ autour de $\zeta_N^i$ dans le sens trigonométrique

Le revêtement ci-dessus fournit alors une injection
$F_{N+1} \to F_2$.

Amicalement

YB

Re-bonjour,

Après réflexion, je crois avoir une démonstration.

On considère le revêtement
$$
\begin{array}{rccl}
\mathbb{P}^1-\{0,\mu_N,\infty\} & \to & \mathbb{P}^1-\{0,1,\infty\} \\
z & \mapsto & z^N
\end{array}
$$
où $\mu_N = \{\zeta_N^i\}$ est le groupe des racines de l'unités et $\mathbb{P}^1$ la droite projective complexe, i.e. la sphère.

On peut identifier le groupe fondamental de $\mathbb{P}^1-\{0,\mu_N,\infty\}$ au groupe libre $F_{N+1}$ en choisissant pour générateurs les boucles $x_0$ autour de $0$, et $x_i$ autour de $\zeta_N^i$ dans le sens trigonométrique

Le revêtement ci-dessus fournit alors une injection
$F_{N+1} \to F_2$.

Amicalement

YB

Bonsoir

Et même, $F_2$ le groupe libre à 2 générateurs $a,b$ contient des sous-groupes (donc libres) qui ont une infinité de générateurs (c'est à dire pas de type fini) !
C'est le cas du groupe dérivé $D(F_2)$ et de certains de ses sous-groupes.
Remarquons que $[a^n,b^m] \not\in \langle\, [a^i,b^j]\mid 1\leq i

$(\oplus_{\Z} \Z/2\Z) \rtimes \Z$