Intégrale triple sur un volume

Autre idée pour le 3. 7. Soit $y=ax+bz+c$ l'équation du plan $REL$ et soit $D$ le domaine plan triangulaire $ROU$.
Alors le domaine d'intégration est : $V=\{(x,y,z)|(x,z)\in D,0\leq y\leq ax+bz+c\}$, et l'intégrale est :
$I=\iint_{D}dxdz\int_{0}^{ax+bz+c}(6xz+2x)dy$.
En espérant que c'est juste.
Bravo, on travaille bien en L1 !
Bon courage.
Fr. Ch.

$D_z=R_z\cup T_z$, avec $R_z$ un rectangle et $T_z$ un triangle.

C'est ce qui va se passer si tu ne veux fournir aucun effort!

$D_z$ est la surface obtenue en coupant suivant le plan oxy ton pyramide à la hauteur $z$, fais un dessin.

@ekottodipanda
Fais un dessin de D_z à la hauteur z=1

@ ekottodipanda
Comme hélas trop souvent ça part dans tous les sens.

1. Je présume que tu as dans ton cours la formule suivante. Si l'on cherche $I=\iiint_{U}f(x,y,z)dxdydz$, où $U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|(x,y)\in D,u(x,y)\leq z\leq v(x,y)\}$, avec $D\subset \mathbb{R}^{2}$, alors : $I=\iint_{D}dxdy\int_{u(x,y)}^{v(x,y)}f(x,y,z)dz$.
Ceci se voit très bien sur un dessin. L'intégrale triple est ramenée à une intégrale double, et l'on procède ensuite de même pour celle-ci.
Dans le cas présent, on remplace $(x,y)$ par $(x,z)$ comme je l'ai dit, et ça marche.
Si tu optes pour cette solution, une fois que tu auras l'intégrale double on en reparle si tu veux, sans grossière faute d'orthographe si possible.

2. Voici que l'un s’insère dans le dialogue en proposant son saucissonnage, et que l'autre veut transformer tout ça en cube. Bon je n'ai rien à (re)dire de ces solutions alternatives, car ce n'est pas moi qui ai à faire cet exercice, et je n'ai pas donc à évaluer d'autres solutions, juste esquissées. Moi j'en propose une qui est basique et qui conduit à la réponse. À toi de voir.

Adessias.
Fr. Ch.

Mon cher Fr. Ch.

Le vague croquis fait dans le 4ème post suggère que ekottodipanda "voit" le volume comme étant posé sur la face $OLEU$. Mais il ne va pas jusqu'à dessiner la tranche de salami correspondant à $\int qsp(z) {\rm d} z$. Ta suggestion consiste à poser ce volume sur une autre face, et de couper les tranches de salami selon une autre direction. Mais, en faisant la figure, je n'ai pas l'impression que les tranches correspondant à $\int qsp(y) {\rm d} y$ ou $\int qsp(x) {\rm d} x$ vont nous faciliter la vie.

On en revient à: une figure détaillée, ou rien.

Cordialement, Pierre.

@ ekottodipanda

Si tu as encore du mal avec l'exercice 3. 7, laisse-le et prends le 3. 8 : il se traite avec la méthode que j'ai proposée pour le 3. 7, sans qu'il soit besoin de « poser » le domaine volumique $V$ sur une autre face que $OAB$.
L'équation du plan $ABC$ est : $x+y+z=1$.
Si l'on désigne par $D$ le domaine plan $OAB$, alors : $V=\{(x,y,z)|(x,y)\in D,0\leq z\leq 1-x-y\}$, et l'intégrale demandée est donc :
$\displaystyle I=\iint_{D}dxdy\int_{0}^{1-x-y} \frac {1} {(z+x+y+1)^3} dz$.
Ce qui se calcule sans mal, et tu es alors ramené à une intégrale double.
Tu calcules de même cette intégrale double, en exprimant de même le domaine $D$, et tu as la solution sans peine.

Il apparaît que l'exercice 3. 8 est plus facile que le 3. 7, et nous aurions dû commencer par ce 3. 8. Une fois que tu auras résolu ce 3. 8, tu pourras t'attaquer au 3. 7 avec la méthode que je t'ai proposée, ou bien au choix avec l'une des autres qui t'ont été suggérées à l'état d'esquisses.

Bon courage, bonne journée.
Fr. Ch.

On en est dans des calculs obèses. Je ne sais pas si j'aurai le courage d'aller au bout.
La troisième intégration (en z) aura ma peau.

Pourquoi tant de haine ?

e.v.

Bonjour,

Comme d'habitude pour le calcul d'une intégrale, il y a bien des stratégies possibles. Et c'est un bon exercice d'en utiliser plusieurs. Sans parler du fait que cela permet de contrôler ce que l'on a trouvé.

$\,$
• On commence par une figure ($z$ vers le haut). Les pans obliques fixent pour conditions: $4-2x-2z\geq0$ et $12-4x-4y-6z\geq0$.
  
  

  Un RELOU pyramidal

  
  
  $\,$
• Dilacération. Décomposer la pyramide R-ELOU en une pyramide R-ELO et une pyramide R-OUE. Ça ROULE, mais c'est bien lent.
  
  $\,$
• Monte-Carlo. On lance quelques points dans le pipède circonscrit (la fonction ran implémente un générateur uniforme dans $\left[0,1\right]$):
  
  
  nn:=0; ss:=0; for jj to 10000 do
  
  xx,yy,zz:=2*ran(),3*ran(),2*ran();
  
  if H(12-4*xx-4*yy-6*zz)*H(4-2*xx-2*zz)>0 then
  
  nn:= nn+1; ss:= ss+(6*xx*zz+2*xx);
  
  fi; od: vol=12*nn/(jj-1.), exo=ss*12/(jj-1);
  
  
  $$vol\approx2.639,\;exo\approx7.370$$
  
  
• Heaviside. Tant qu'à avoir calculé les frontières, on fait calculer ensuite
  
  
  Int(Int(Int((6*x*z+2*x)*H(-4*x-4*y-6*z+12)*H(-2*x-2*z+4), y=0..3),x=0..2),z=0..2):
  
  %= value(%);
  
  
  $$ \int_{0}^{2}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{3}\!\left(6\,xz+2\,x\right)H\left(12-4\,x-4\,y-6\,z\right)H\left(4-2\,x-2\,z\right)\,{\rm d}y\,{\rm d}x\,{\rm d}z=\dfrac{22}{3} $$
  
  $\,$
• Salami R-ELOU. On coupe en tranches parallèles au plan ELOU. Les sections sont homothétiques. Et on recoupe chaque tranche en bandelettes à $x$ constant. Cela conduit à \[ \int_{0}^{2}\!\int_{0}^{-z+2}\!\int_{0}^{-x-3/2\,z+3}\!1\,{\rm d}y\,{\rm d}x\,{\rm d}z=\frac{8}{3} \] \[ \int_{0}^{2}\!\int_{0}^{-z+2}\!\int_{0}^{-x-3/2\,z+3}\!6\,xz+2\,x\,{\rm d}y\,{\rm d}x\,{\rm d}z=\dfrac{22}{3} \]
  
  $\,$
• Salami alternatif. Couper en tranches parallèles au plan ROL. Excellent exercice, laissé au soin du lecteur (les tranches ne sont plus homothétiques entre elles).
  
  $\,$
• Le cube, il n'y a que cela de vrai. On procède au changement de variables:
  
  \[ \left\{ Z=\frac{z}{2},\;X=\dfrac{x}{2-z},\;Y=\dfrac{2y}{6-2\,x-3\,z}\right\} ,\;\left\{ x=2\,X\left(1-Z\right),\;y=Y\left(1-Z\right)\left(2\,X-3\right),\;z=2\,Z\right\} \] On utilise le déterminant jacobien pour tenir compte du changement de volume élémentaire, et on obtient: \[ \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{V}\!6\,xz+2\,x\,{\rm d}y\,{\rm d}x\,{\rm d}z=\int_{0}^{1}\!\!\!\int_{0}^{1}\!\!\!\int_{0}^{1}\!16\,X\left(1-Z\right)^{3}\left(6\,Z+1\right)\left(3-2\,X\right)\,{\rm d}X\,{\rm d}Y\,{\rm d}Z=\frac{22}{3} \]
  

Vu qu'il ne répond plus, il semble que ekottodipanda n'ait pas compris qu'un minimum de persévérance est utile pour apprendre à résoudre des exercices. Après tout, c'est peut-être cela le plus dur à comprendre.

Cordialement

Edit: un contournement de bbcode

@ pldx1 : très joli dessin.
@pdlx1, gebrane0: Je vous trouve bien sévères envers ekottodipanda. C'est une chose d'avoir une méthode, mener les calculs à bien sans erreur en est une autre. Si l'exercice était si facile, il n'y aurait pas fallu 4 jours pour que quelqu'un ose proposer une réponse.

@gebrane $Vol=\int_0^h \text{Aire}(D_z) dz=\int_0^h \text{Aire}(D_h)\frac{z^2}{h^2} dz=\text{Aire}(D_h)\times\frac{h}3$.

Maintenant je le sais . merci aléa et Dom

Bonjour,

aléa (msg-1437252) nous fait part de ses doutes quant au fait que le résultat \[ \iiint f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x\mathrm{\,d}y\,\mathrm{d}z=\mathrm{V}.\mathrm{E}(f\left(X,Y,Z\right)) \] où $(X,Y,Z)$ suit la loi uniforme sur la pyramide, et $V$ est son volume soit "trouvable au niveau L1". Je partage ses doutes. Ce n'est pas que ce soit difficile. En fait c'est à peu près la seule description raisonnable de l'objet "intégrale triple". On coupe le volume en petites cellules où la fonction ne bouge pas trop, on multiplie chaque valeur par l'élément de volume correspondant et on somme le tout.

Et donc, si l'on veut vérifier que $J=\dfrac{1}{2}\ln(2)-\dfrac{5}{16}\approx0.0341$, il suffit tout bonnement de faire le calcul ci-dessous:

N:=30000; nn:=0; ss:=0; for jj to N do xx,yy,zz:=ran(),ran(),ran();
  if 1-xx-yy-zz>0 then nn:= nn+1; ss:= ss+ 1/(xx+yy+zz+1)^3; fi 
od:

Une exécution donne $n=5032,\;s=1019.6871$. Le pipède enveloppant est de volume $1$. Le volume de la pyramide vaut donc $V\approx1.\times5032/30000\approx0.1677$. L'espérance de $f$ vaut $\mathrm{E}\left(f\right)\approx1019.68741/5032\approx0.2026$ tandis que l'intégrale vaut $\iiint\approx1019.6871/30000\approx0.0340$. On le redit encore: \[ \frac{1019.6871}{30000}=\frac{1019.6871}{5032}\times\frac{5032}{30000} \]

Cela semble accessible au niveau L1. En tout cas, cela devrait.

Cordialement, Pierre.

Autre exemple: $$ \iiint_V \frac 1 {\left( 1+x+2\,y+3\,z \right) ^{3}} \,{\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z $$

Je m'étonne que l'on ne parle que de « tranches » dans cette récapitulation.

Je rappelle qu'une présentation élémentaire de l'intégrale triple est la suivante. Si l'on cherche $ \displaystyle J=\iiint_{U}f(x,y,z)dxdydz$, où $\displaystyle U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|(x,y)\in D,u(x,y)\leq z\leq v(x,y)\}$, avec $ \displaystyle D\subset \mathbb{R}^{2}$, alors : $\displaystyle J=\iint_{D}dxdy\int_{u(x,y)}^{v(x,y)}f(x,y,z)dz$.
Ceci se voit très bien sur un dessin. L'intégrale triple est ainsi ramenée à une intégrale double, et l'on procède ensuite de même pour celle-ci.
Ceci s'appelle, si je ne me souviens bien, l'intégrale « par piles » et non par tranches.

J'avais tout d'abord suggéré d'appliquer ceci en prenant pour $D$ le domaine plan $OUEL$, mais il fallait couper la pyramide $V$ en deux tétraèdres, et je me suis aperçu que comme le quadrilatère $OUEL$ est un trapèze, mieux valait « poser » la pyramide $V$ sur la face $OUR$, selon l'expression pertinente de pldx1.

L'équation du plan $REL$ est : $\displaystyle y=x-\frac{3}{2}z+3\ $. Alors, en désignant par $D$ le domaine plan $OUR$, le domaine volumique d'intégration est : $\displaystyle V=\{(x,y,z)|(x,z)\in D,0\leq y\leq -x- \frac{3}{2}z+3\}$, et l'intégrale demandée est ipso facto :
$\displaystyle I=\iint_{D}dxdz\int_{0}^{-x-\frac{3}{2}z+3}(6xz+2x)dy=\int \int_{D}(-x-\frac{3}{2}z+3)(6xz+2x)dxdz$,
avec : $\displaystyle D=\{(x,z)\in \mathbb{R}^{2}|x\geq 0,z\geq 0,x+z\leq 2\}$.

Ensuite, intégrale double, encore des calculs. C'est une des méthodes.

Et moi, je n'ai pas « attendu quatre jours pour proposer une réponse », j'ai d'abord proposé tout de suite la première en deux tétraèdres, puis celle-ci juste après, en observant la règle qui consiste à ne pas faire l'exercice à la place du questionneur, mais à orienter ses recherches.

Bonne soirée.
Fr. Ch.