Sommabilité de séries avec plusieurs indices

NM001
NM001
dans Analyse
Bonjour
Voilà, je suis tombé sur un problème de séries, mais je n'arrive pas à le résoudre.

Mon objectif est de savoir si je peux trouver des conditions sur $b_{n,k}$ pour savoir si cette série est sommable : $$\sum_{k=0}^n b_{n,k}(a_k - a_{k+1})
$$ On sait que les suites sont positives, que $b_{n,k} = 0$ si $k>n$. De plus $(a_n)$ converge.

Je cherche des conditions suffisantes, les plus larges possibles.
Par exemple pour l'instant, j'ai supposé que $b_{n,k} = 0$ si $k<n-m$. Dans ce cas là la somme sur $k$ n'a plus qu'un nombre fini de termes que j'étudie séparément. J'applique alors une règle d'Abel, et j'arrive à avoir des conditions type
$\forall k\in \mathbb{N},\ (|b_{n,n-k}-b_{n+1,n+1-k}|)$ sommable.

Ça me parait pas mal, mais je me demande si on peut étendre ce genre de raisonnement sans l'hypothèse sur les premiers termes de $b_{n,k}$. Du coup pour ça j'ai pensé à une inversion de somme, mais je n'ai pas réussi à conclure.
Si quelqu'un a une idée pour gérer le fait que j'ai de plus en plus de terme ça m’intéresse en tout cas.
Je vous remercie d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ce n'est pas clair, tu demandes sous quelles conditions sur les $b_{n,k}$ la série de terme général $\displaystyle \sum_{k=0}^n b_{n,k}(a_k - a_{k+1})$ est convergente ?
  • NM001
    NM001
    Oui, c'est ça.
  • L2M
    L2M
    - Est ce que $b_{n,k} = 0$ si $k>n$ est une donnée ou une hypothèse que tu veux généraliser?
    Si c'est une donnée alors je crois que tu essayes de nous cacher que $b_{n,k} = \binom{n}{k}\times b'_{n,k} $.

    - Tu dois préciser les données obligatoires de ton problème et les conditions (hypothèses) généralisables.
  • NM001
    NM001
    Les hypothèses sont juste ce qui est au début : suites positives, $(a_n)$ converge et $b_{n,k} = 0$ si $k>n$.
    En fait $b_{n,k} = \sum\limits_{i=0}^k c_{n,i}$, où les $c_{n,i}$ sont positifs de tels que $~\forall n\in\mathbb{N},\ \sum\limits_{i=1}^n c_{n,i} = 1$, du coup on a aussi $b_{n,n} = 1$ en plus.
  • L2M
    L2M
    Tu as écrit $~\forall n\in\mathbb{N},\ \sum\limits_{i=1}^n c_{n,i} = 1$, c'est plutôt $\sum\limits_{i=0}^n c_{n,i} = 1$.
    Sinon $~\forall n\in\mathbb{N^*},\ c_{n,0}=0$
  • NM001
    NM001
    Oui, c'est plutôt $\mathbb{N}^*$. Mais je ne pense pas que la structure des $b_{n,k}$ soit importante.

    En gros pour l'instant, mon idée est d'utiliser un télescopage, d'une manière ou d'une autre des $a_{n}-a_{n+1}$, mais le problème, c'est qu'on ne peut pas majorer ce qu'il y a devant car ce terme peut-être négatif (et qu'on n'a aucune hypothèse de croissance sur les $(a_n)$).

    J'ai la sensation que le résultat reste vrai si je ne fais pas mon hypothèse de nullité des $b_{n,k}$, mais je ne vois pas comment m'en sortir.
  • NM001
    NM001
    Voilà le calcul avec interversion de somme
    $$\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=0}^n b_{n,k}(a_k -a_{k+1})=
    \sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{n=k}^{+\infty} b_{n,k}(a_k -a_{k+1})=
    \sum_{k=0}^{+\infty}(a_k -a_{k+1})\sum_{n=k}^{+\infty} b_{n,k}$$

    Mais je n'arrive pas à conclure une fois ici, quelqu'un a une idée ?
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