axiome ou théorème ?

Bonjour,

faut-il dire ''théorème de Pythagore'' ou ''axiome de Pythagore'' ?

Bien cordialement.

kolotoko

Réponses

  • Puisqu'on le démontre, c'est un théorème, non ?
  • Bonsoir Kolotoko.

    Il est très rare que les propriétés de Pythagore soient prises comme axiome. Dans quel cadre as-tu rencontré ça ?

    Cordialement.
  • Bonsoir,

    dans quel cadre ai-je rencontré ça ?

    Ici même, dans la discussion ''longueur de l'hypoténuse'' et dans ''déterminer la position de M pour que ...'', sous la plume de pappus !

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour,

    Pour préciser : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1377440,1377510#msg-1377510
    Et aussi parce que la réponse (de Pappus) m’intéresserait.

    Bonne journée.
  • Alors demande à Pappus dans quel cadre il se place pour qu'il l'appelle "axiome".
    A moins que tu aies d'autres exemples ...
  • Bonjour,

    le théorème de Pythagore est équivalent à l'axiome des parallèles (par un point donné extérieur à un droite D donnée passe une seule parallèle à D) .
    Bien cordialement.

    kolotoko .
  • Il manque des petits points avant les D sieur kolotoko.

    :D

    S
  • Étonnant, car naïvement j'aurais cru que "l'axiome des parallèles" reste dans le cadre affine non euclidien, contrairement au théorème de Pythagore.
  • Meilleurs Vœux à tous
    Tout le monde ici sait que j'ai mes petites manies et il est vrai que je radote le plus souvent à cause de mon grand âge.
    Constatant que les similitudes n'étaient plus enseignées et que les angles eux-mêmes faisaient fuir nos valeureux agrégatifs lors des leçons de géométrie, j'ai pensé un peu naïvement qu'il était plus logique de présenter le théorème de Pythagore comme un Axiome.
    Je suis un peu étonné qu'il ait fallu attendre tant de temps pour que quelqu'un réagisse!
    Ceci dit je suis intéressé de savoir comment on démontre aujourd'hui le théorème de Pythagore sans disposer des bons outils pour ce faire.
    Je sais cependant qu'il en existe de multiples démonstrations toutes plus belles les unes que les autres, peut-être que nos professeurs s'en tirent de cette manière!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Dans les "éléments de géométrie" d'Euclide, la propriété "par un point donné extérieur à une droite D donnée passe une seule parallèle à D" est un théorème, conséquence du postulat des parallèles (ce qu'Euclide appelle "postulat" est en termes moderne un axiome). Donc il est bien question de contexte. Je n'ai pas vu le contexte qui permettait à Pappus de parler d'axiome, c'est pourquoi je te renvoie à lui. Pour ma part, je ne comprends pas toujours dans quel cadre il parle.

    De même dire qu'une propriété est équivalente à une autre n'a de sens que dans une théorie donnée. Or l'axiome des parallèles est de la géométrie affine, la perpendicularité et le théorème de Pythagore, non. Donc on ne peut pas parler à priori d'équivalence.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    @Kolotoko : tu veux dire, qu'il suffit de supposer l'axiome des parallèles pour être dans un espace euclidien ?

    En effet, le théorème de Pythagore revient à dire que la norme utilisée est euclidienne (sauf erreur).

    Bonne journée.
  • Merci Pappus, de ton intervention !

    Effectivement, les démonstrations par triangles semblables à la Euclide, ou par le rapport de projection orthogonal (qui étaient en usage quand j'ai commencé à enseigner) deviennent délicates, même si la réintroduction des triangles semblables en collège peut laisser espérer. Il reste pas mal de preuves possibles, par exemple celle par les aires et le découpage d'un rectangle de côtés a et b.
    De toutes façons, la géométrie en secondaire est surtout construite comme une suite de propriétés admises (y compris quand le prof a fait une démonstration). Et, sauf pour les "bons élèves", c'était déjà le cas à notre époque. Parmi mes condisciples de seconde et première, qui savait démontrer le théorème de Pythagore ? Pas moi, en tout cas, alors que j'étais l'un des meilleurs en maths.

    Cordialement.
  • Ha cher @[small]p[/small]appus, une pointe d'ironie donc dans ton propos lié à cette discussion ;-)
    En 4e, on peut démontrer le théorème de Pythagore en disposant les quatre triangles rectangles (isométriques) pour former un carré.
    Un jeu de puzzle, que tu connais mieux que moi, permet de faire la preuve.

    Attention, les professeurs, la preuve doit quand même être rédiger et le plus difficile est de faire passer que l'on ne dit pas "on voit que".
    Je pense que ce puzzle doit être réalisé sur feuille blanche, avec l'équerre (qui donne, par chance, des imprécisions) afin de prouver les bonnes choses. De mémoire les propriétés utilisées sont toutes de 5e (somme des mesures des angles d'un triangle et parallélogrammes particuliers).
  • Voilà une occasion de corriger une erreur fréquente, réitérée en toute bonne foi dans ce fil à de multiples reprises par moult intervenants. Ce ne sera donc pas du luxe.

    Pappus a parfaitement raison et ce indépendamment de ses remarques sentimentales sur l'évolution récente des tendances scolaires ou agrégatives.

    Tout ce qui n'est pas justifié dans une preuve est un axiome de la preuve


    C'est aussi simple que cela.

    Que l'histoire humaine (qui n’apparaît pas dans la preuve) fasse par ailleurs le récit de diverses autres preuves, par exemple d'une preuve Q qui établirait l'axiome (hypothèse) utilisé X par la preuve P n'a évidemment aucun lien mathématique avec la preuve P.

    Bien entendu, je ne "tape pas" sur la tradition voulant, pour des raisons poétiques ou culturelles, signaler "en passant" au lecteur vivant de la preuve que tel admis X est prouvable par ailleurs, voire a été célèbrement prouvé. Mais il faut bien comprendre qu'il s'agit d'un commentaire dans la preuve au même titre que le sont les commentaires dans un programme informatique. Autrement dit, dans l'idéal, il serait mieux qu'il y ait un tag qui signale une digression culturelle.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • L'être est l'ensemble de ce qui est.
    Pourquoi n'es-tu pas d'accord ?

    L'épreuve est longue,
    La preuve est courte.
    Pourquoi es-tu d'accord ?

    S
  • Meilleurs voeux à tous
    A défaut de pouvoir utiliser les défuntes similitudes, j'aime bien les preuves basées sur la notion d'aire et notamment celle suggérée par Dom dont je propose la figure ci-dessous.
    Il va sans dire que si l'on exige une rigueur absolue, il vaut mieux posséder la théorie de la mesure.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Ou penchés à l'avant des blanches caravelles,
    Ils regardaient monter en un ciel ignoré
    Du fond de l'océan des étoiles nouvelles.58530
  • @Pappus : Joli, je ne connaissais pas, merci pour le partage.

    Bonne journée.
  • Le plus difficile est de faire comprendre que sur l'autre disposition (deux rectangles de dimensions $a$ par $b$ et deux carrés de côtés, l'un $a$ l'autre $b$) il n'est pas évident a priori qu'il s'agisse bien de deux carrés.

    @cc
    Je trouve que tu y vas un peu fort dans ton point de vue "...est un axiome de la preuve".
    On a le droit de ne pas être d'accord. S'il existe des choses admises, cela me dérange que l'on parle pour autant d'axiome.
    Dans un exercice où les questions s'enchaînent, il me paraît abusif de dire "d'après les axiomes des questions 1) et 2) je démontre le 3)".
    Pire, je répète qu'en ce qui concerne le théorème de Pythagore (en 4e), il était (avant les nouveaux programmes) fortement conseillé de le démontrer.
    Notre géo-maître @[small]p[/small]appus l'a utilisé à dessein (ironique et empreint d'une certaine désolation).

    [Merci @jacquot]
  • En géométrie on définit l'espace euclidien par des axiomes géométriques (d'Euclide), dont le théorème de Pythagore est une conséquence.

    En analyse, on définit l'espace euclidien comme un espace vectoriel avec une norme qui découle du produit scalaire (= Pythagore) qui n'est donc plus un théorème [small](les axiomes d'Euclide deviennent des théorèmes)[/small].

    Non ?
  • Dès que l'on a un produit scalaire on peut démontrer en quelques lignes le théorème de Pythagore.
    C'est même presque "trivial".

    C'est vrai que dire "géométrie euclidienne" ne suppose pas, dans certaines configurations (collège par exemple) le produit scalaire...c'est fâcheux, mais c'est comme ça. C'est en effet aux axiomes d'Euclide que le mot "euclidien" fait référence (les perpendiculaires, etc.).
    Il faut bien avouer que celà ne facilite pas la tâche à celui qui veut comprendre...en autodidacte.

    Cependant, dans tous les cas je parlerais de théorème.
  • Bonjour,

    Voici un lien donnant quelques démonstrations du théorème de Pythagore (Il y en a plus de 360) démos et le lien avec le postulat des droites parallèles d'Euclide.

    Le théorème de Pythagore et de Thalès seraient en quelque sorte la même chose (Pythagore se démontre avec les triangles semblables (Thalès) et est une conséquence directe du fait que la somme des angles dans un triangle est 180°).
    En géométrie non euclidienne (où le 5ème postulat d'Euclide n'est plus valable), ce théorème est faux.
  • jeremyjeff : a écrit:
    Le théorème de Pythagore et de Thalès seraient en quelque sorte la même chose

    Ce n'est pas parce que l'on peut montrer le théorème de Pythagore par les similitudes, que ces deux théorèmes seraient "la même chose", même en "quelque sorte" ou alors, il faut préciser la sorte :-D. Le premier est de nature métrique alors que le second est de nature affine.

    Bruno
  • @Bruno de mon téléphone : il est peut être possible qu'il cache sous le tapis une quantification de la structure euclidienne (qui effectivement rend les 2 théorèmes proches une fois admise). Je l'explicite: << tout triangle est vu rectangle par AU MOINS une structure euclidienne>>
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • dom a écrit:
    Dès que l'on a un produit scalaire on peut démontrer en quelques lignes le théorème de Pythagore.
    C'est même presque "trivial". C'est vrai que dire "géométrie euclidienne" ne suppose pas, dans certaines configurations (collège par exemple) le produit scalaire...c'est fâcheux

    Attention, ta phrase est un peu ambigue (pardon de ne la voir que maintenant). Le signe $\perp$ et ses propriétés DONNE*** le produit scalaire. Evidemment, tu voulais peut-être dire que "ce n'est pas évident pour les zenfants de 13ans", mais comme tu parles de "configurations" et non d'élèves... Les lecteurs peuvent croire que tu énonces une information culturelle connue (qui dirait "PS indépendant de $\perp$).

    [small]*** Les "nombres" s'obtiennent comme des rapports de longueur (notion affine comme dirait Bruno). Idem pour les vecteurs. Une fois que tu as les nombres, tu peux multiplier un vecteur par un nombre (et c'est rigolo parce que c'est tautologique). Il suffit donc de définir le produit scalaire de deux vecteurs ayant été déclarés "de la longueur de l'étalon unitaire". Pour ça, effectivement, $\perp$ est nécessaire, mais surtout suffisant. 2 segments sont de même longueur, s'il existe un losange suivi d'un parallélogramme qui mène de l'un à l'autre.

    Le produit scalaire $<u|v>$ de deux vecteurs unitaires (qui est souvent aussi abrégé par "le cosinus de l'angle qu'ils forment") s'obtient en mesurant "la part de $u$ qu'il y a dans $v$ (cette notion est d'ailleurs totalement primordiale en ... MQ où $a\perp b$ est la traduction de $a\neq b$)

    Pour ça, tu prends l'unique $w$ tel que $u,w$ sont colinéaires et $(v-w)\perp u$, et $<u|v>$ est l'unique $x$ tel que $xu=w$.

    Il est à remarquer que ce n'est certes pas la définition la plus économique :-D, mais que par une espèce de sagesse involontaire et inconsciente, la communauté a retenu traditionnellement pour la transmettre aux adolescents (très probablement influencée par une forte présence inconsciente d'algèbre linéaire orientée quantique dans l'inconscient collectif, mais on ne saura jamais).
    [/small]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour.

    Dans mon axiomatique préférée il est écrit
    "Le 3-volume de l'enveloppe convexe de quatre points coplanaires A, B, C, D est nul.
    C'est à dire que le déterminant de Cayley-Menger $C_4$ associé à ces points est nul.

    $C_4$ est un méchant polynôme de 22 monômes, mais si l'on y remplace la distance AC par AB + BC,
    càd. si A, B, C sont slignés dans cet ordre, il se métamorphose en carré parfait. Le polynôme élevé au carré est
    $BC\,DA^2 -CA\,DB^2 +AB\,DC^2 - BC\,CA\,AB$
    Il est de bon ton d'y reconnaître le premier membre la relation de Stewart.

    Dans le contexte brumeux jonché d'axiomes implicites où erre notre Théorème de Pythagore,
    supposons que l'angle droit soit modestement défini comme un angle isométrique à son supplémentaire
    et qu'il soit possible d'y accoler deux exemplaires du triangle rectangle sous examen.

    De ce qui précède résulte que la figure ci-bas est justiciable de la relation de Stewart. Elle s'écrit ici
    $$
    ba^2-2bc^2+ba^2-2b^3=0
    $$
    qui se réduit stante pede à $2b(a^2-c^2-b^2)=0$60060
  • Christophe : a écrit:
    << tout triangle est vu rectangle par AU MOINS une structure euclidienne >>

    Il y a trois involutions de la droite de l'infini qui transforment trois points non alignés en un triangle rectangle en imposant que deux des trois côtés soient perpendiculaires. Il n'y a toujours pas de théorème de Pythagore là dedans.

    Plus je réfléchis à ce que tu viens de m'écrire, et plus il m'apparaît que le théorème de Pythagore est une caramélisation métrique de la notion d'orthogonalité et rien d'autre. L'orthogonalité elle-même, et incidemment, la mesure des angles orientés grâce à la formule de Laguerre pré-existent à la métrique.

    Bruno
  • @Bruno, j'ai été ambigu, pardon. Ce que je voulais dire c'est ce que je pensais que jeremyjeff avait peut-être voulu dire, pas ce que je pense moi. Pour moi, tout ceci est extrêmement difficile, car il faut décider ce qu'on admet à l'avance, etc, sinon on ne risque que de faire des petits raisonnements esthétiques locaux, mais qui mis ensemble deviendraient vite circulaires.

    Par contre, je n'arrive pas à comprendre comment tu fais pour ne voir qu'une seule involution de la droite de l'infini qui voit droit un angle imposé (ah mais pardon, quand tu dis 3, tu ne dis peut-être pas exactement 3 en fait).

    Cela me suggère une question, mais je vais ouvrir un fil, merci.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonsoir,

    Et Euclide dans tout cela ?

    Les démonstrations historiques: Bashkara, Garfield, Vinci, Lainez, Liu ... ont l'avantage de partir des postulats d'Euclide.
    On part clairement du 5ème postulat (équivalent à la somme des angles dans un triangle = 180°).

    La relation de Stewart citée ci-dessus, les involutions, le 3-volume de l'enveloppe convexe de quatre points coplanaires A, B, C, D est nul...
    Pour moi j'ai l’impression qu'avec ces notions on tourne en rond sans savoir vraiment sur quels postulats on part .

    Bonne soirée
  • Bonjour,

    j'aime vraiment beaucoup ce que nous dit soland .

    Bien cordialement.

    kolotoko
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