calcul d'une somme
Réponses
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Pour le cas n=8, tu prends ta calculette !
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Dans mon exemple,c'est pour n=8 mais après je cherche a étendre pour trouver une relation pour n quelconque si elle existe..
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Selon Wolfram Alpha,
$\displaystyle \sum^n_{k=0} \frac{\binom{n}{k}}{k!}=L_n(-1)$
Où $L_n$ est le n-ème polynôme de Laguerre.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_LaguerreLe passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Les valeurs de cette somme pour $n$ entre $0$ et $10$ sont $1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231$.
On cherche dans l'OEIS, et on trouve : http://oeis.org/A002720 -
est ce qu'on peut simplifier la somme sans passer par les polynômes de Laguerre que je ne connais pas?
merci -
Si $S_n$ est ta somme en question, on peut déjà dire que $2^n \leqslant S_n \leqslant 2^n n!$. Comme elle se réécrit aussi
$$\sum_{k=0}^n k! {n \choose k}^2$$
on a également ${2n \choose n} \leqslant S_n \leqslant n! {2n \choose n}$. Finalement
$${2n \choose n} \leqslant S_n \leqslant 2^n n!.$$
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