calcul d'une somme

Bonjour, j'ai un problème.
Je cherche de l'aide pour calculer cette somme pour $n$ fixé.
et plus particulièrement le cas $n=8$. \[
n!\sum^n_{k=0} \frac{\binom{n}{k}}{k!}\]

Réponses

  • Pour le cas n=8, tu prends ta calculette !
  • Dans mon exemple,c'est pour n=8 mais après je cherche a étendre pour trouver une relation pour n quelconque si elle existe..
  • Selon Wolfram Alpha,

    $\displaystyle \sum^n_{k=0} \frac{\binom{n}{k}}{k!}=L_n(-1)$

    Où $L_n$ est le n-ème polynôme de Laguerre.

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Laguerre
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Les valeurs de cette somme pour $n$ entre $0$ et $10$ sont $1, 2, 7, 34, 209, 1546, 13327, 130922, 1441729, 17572114, 234662231$.
    On cherche dans l'OEIS, et on trouve : http://oeis.org/A002720
  • est ce qu'on peut simplifier la somme sans passer par les polynômes de Laguerre que je ne connais pas?

    merci
  • Si $S_n$ est ta somme en question, on peut déjà dire que $2^n \leqslant S_n \leqslant 2^n n!$. Comme elle se réécrit aussi
    $$\sum_{k=0}^n k! {n \choose k}^2$$
    on a également ${2n \choose n} \leqslant S_n \leqslant n! {2n \choose n}$. Finalement
    $${2n \choose n} \leqslant S_n \leqslant 2^n n!.$$
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