Disparition du raisonnement mathématique

Confronté à un élève plutôt brillant, je ne suis pas parvenu à lui faire admettre que son raisonnement n'était pas bon (surtout ne pas dire faux car rien ne doit être négatif chez nous).
Et en rentrant chez moi, je me suis demandé comment un élève de troisième pouvait être convaincu qu'il avait raison et ne faisait même pas l'effort d'essayer de comprendre son erreur.
Ceci ne m'arrivait jamais auparavant et delà devient de plus en plus fréquent.
J'en suis arrivé à la conclusion qu'à force d'admettre comme exacte toute réponse qui va "dans le bon sens", tout raisonnement débuté mais pas terminé, on était en train de tuer notre belle discipline.
Les élèves ne comprennent plus qu'une phrase est soit vraie soit fausse, qu'un raisonnement qui mène à un résultat faux ne peut en aucun cas être exact.
Je fais partie de ces profs qui sont à fond dans le système, tâches complexes, travail de groupe, débat etc... et maintenant EPI et AP (foutez - la nous d'ailleurs)
En enseignant les mathématiques différemment on arrive peut-être à les rendre plus attractives, mais je pense qu'on est petit à petit en train de perdre ce qui fait leur spécificité et leur raison d'être.
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Réponses

  • Et oui !
    "L'élève au centre de ses apprentissages" peut amener à cela, à moins que je comprenne mal cette idée...

    Tant que possible, se demander et demander aux élèves, pour chaque affirmation, "pourquoi" permet d'appréhender les mathématiques autrement.
    Et en effet, ne pas admettre exacte toute réponse "dans le bon sens".

    Cependant, cela ne me gêne pas que des points soient attribués pour des débuts de raisonnements ou des réponses "pertinentes" (à définir au cas par cas).
    Ce n'est pas "accepter" de faire cela.
  • Bienvenue 25 ans après la fin du film did63 :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @cc
    C'est ce que j'ai pensé également 8-)
  • Plus grave encore, lors de l'élaboration de ma progression, je ne consacre plus ,comme il y' a quelques années , 2 semaines par an à l'initiation à la démonstration en 5éme et 4 éme.
    Peut-on être surpris qu'à force de ne plus faire de maths, les élèves ne sachent pas ce qu'est cette matière?
  • @did63: je sens que tu as envie de faire beaucoup d'humour dans ce fil :-D Je le suivrai avec intérêt! Par contre, je t'avoue avoir le flemme de retrouver et regrouper mes posts où je liste des détails de ce crash, ils sont vraiment très éparpillés.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bon, après ce constat, que comptes-tu faire ?
    Je m'adresse au professeur que tu es, et non à la personne "privée" que tu es.

    Edit : en effet, cela est dénoncé depuis un moment (euphémisme), et ça pourrait faire penser à un troll, sans méchanceté.
    Ou, comme le dit @cc, à une plaisanterie. Digne d'une vendredi où tout le monde est lessivé...
  • Que la disparition des maths au collège et au lycée soit actée , je suis d'accord et convaincu depuis longtemps.Que les élèves ne sachent même plus ce qu'est cette matière , je le découvre.
    Ce que je compte faire ben rien , je ne suis pas Don Quichotte.
  • Bonjour Did63.
    Confronté à un élève plutôt brillant , je ne suis pas parvenu à lui faire admettre que sont raisonnement n'était pas bon
    C'est courant, et ça arrivait aussi il y a 50 ans. Il y a différentes manières de faire, mais sans le "raisonnement" de l'élève, difficile de savoir. Très souvent, c'est le fait que le résultat est juste qui fait que l'élève soutient mordicus que son raisonnement est correct. Dans ce cas, il faut le faire expliciter le raisonnement utilisé, en éliminant le calcul particulier, puis l'appliquer dans d'autres cas. Pour d'autres situations, il faut lui demander de préciser quelle règle (théorème, définition, ..) est appliquée à chaque fois.
    Did63 a écrit:
    je me suis demandé comment un élève de troisième pouvait être convaincu qu'il avait raison et ne faisait même pas l'effort d'essayer de comprendre son erreur.
    J'imagine qu'en rentrant chez lui il s'est demandé comment un prof de troisième pouvait être convaincu qu'il avait tort et ne faisait même pas l'effort d'essayer de comprendre son raisonnement.

    Tu es là dans le cœur de la relation pédagogique. Même en 1950, période de l'autorité du prof, certains élèves n'acceptaient pas de renoncer à leur logique (et parfois ils avaient raison !).

    Pour te consoler : la logique est la chose la moins partagée du monde.

    Cordialement.
  • @dom: comme tu dis, même Gérard se met à la provocation :-D
    Gérard a écrit:
    la logique est la chose la moins partagée du monde.

    Qu'est-ce qu'il a dû être heureux d'écrire ça.

    (Pour les visiteurs, je rappelle bien sûr que c'est faux: par définition, une affirmation avec laquelle au moins une personne n'est pas d'accord est "non évidente" (ce qui ne veut pas dire que les trucs unanimes sont des évidences logiques))

    Autrement dit, tous les terriens acceptent par définition toutes les évidences logiques.

    Pour did63: sois plus précis et on t'aidera peut-être à comprendre ton vilain élève.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • cc a écrit:
    tous les terriens acceptent par définition toutes les évidences logiques
    Donc si un jour tu rencontre quelqu'un qui, de bonne foi, refuse que si A et si A implique B alors B, tu ne considèreras plus ça comme l'évidence logique fondamentale?
  • Je ne cherche pas à comprendre mon vilain élève , je voulais juste lancer un débat sur la disparition des l'enseignement des maths au collège mais apparemment j'ai qq décennies de retard!!!!!
    J'ai la vague sensation d'avoir inventé hier la machine à écrire.....
  • C'est effectivement assez curieux de ne le réaliser que maintenant :-).

    Comme demandé plus haut, la question est : que vas-tu faire maintenant que tu as réalisé cela ?
  • @Shah: je savais que tu** dirais ça. Je ne veux pas polluer le fil, j'ai donné un principe de base, mais il y a des aménagements dont les détails techniques peuvent faire l'objet d'un fil dans une autre rubrique (c'est assez lié à l'élimination des coupures et au fait que "et" abrège "alors si")

    ** enfin que quelqu'un le dirait
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • C’est un effet pervers des méthodes du type de la main à la pâte™®© qui aboutit aussi au si grand succès auprès des élèves aux théories du complot. À force de les faire découvrir par eux-mêmes, ils croient que ce qu’on leur fait découvrir par eux-mêmes sur internet ou à l’église/mosquée est tout aussi vrai.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Par contre je nuance :
    1) pour moi des profs [small](pas deux seulement)[/small] enseignent encore des maths dans le secondaire à tous les niveaux. Je dis cela sans provocation.
    2) en ce qui concerne la logique, je crois que, d'une part, personne ou presque parle de la même chose (sans donner du crédit plus à un intervenant qu'un autre) et d'autre part, @cc semble légitimer tous les "donc" (cf. un fil à retrouver, récent) ce qui n'est pas un principe universel.
    Pardon encore, je ne veux pas "crisper".

    Les directives qui se sont succédées ont évidemment pourri les enseignements.
  • Chris: moi ça me va trés bien que tu dises que la logique est une création humaine. Mais j'avais antèrieurement cru comprendre que tel n'était pas ton point de vue.
  • Il y a une différence entre accepter la logique et accepter l'utilisation du langage qui est faite par les mathématiques. Les gens savent raisonner (sinon ils ne pourraient même pas fonctionner dans la vie courante) mais ils refusent (par exemple) le sens du mot "implique" (voir exemple récent sur le forum).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Nicolas Patrois a écrit:
    C’est un effet pervers des méthodes du type de la main à la pâte™®© qui aboutit aussi au si grand succès auprès des élèves aux théories du complot. À force de les faire découvrir par eux-mêmes, ils croient que ce qu’on leur fait découvrir par eux-mêmes sur internet ou à l’église/mosquée est tout aussi vrai.
    Ces enseignements informels de science mettent en avant le côté inductif du raisonnement scientifique (tout ce qui est "déductif", "formel" étant continuellement condamné par d'innombrables naïfs au profit de "l'intuition", "la créativité" etc) et même si en soi ce n'est pas une mauvaise chose, on ne transmet pas l'idée de charge de la preuve.
    Le trait caractéristique de toute la pensée complotisme est le rejet voire la méconnaissance totale de la notion de charge de la preuve, le complotiste balance des affirmations délirantes et assimile l'échec de ses contradicteurs à des confirmations de ses théories.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Did63 a écrit:
    je voulais juste lancer un débat sur la disparition des l'enseignement des maths au collège

    N'est-ce pas indiscret de te demander ce que tu fais pendant tes heures de cours si tu n'enseignes plus les mathématiques? X:-(

    Blagues à part, il y a des gens qui n'aiment pas reconnaître leur erreurs publiquement.
    Cela ne veut pas dire qu'ils ne finiront pas par se rendre compte qu'ils ont tort même s'ils ne l'admettent jamais publiquement. La pratique des mathématiques demande de la bonne foi et mettre sa fierté dans la poche sous un mouchoir bien souvent pour écouter et recevoir me semble-t-il. Quand on n'est pas dans ces dispositions d'esprit, on est comme une vitre sur laquelle glissent les gouttes d'eau sans se fixer. B-)-
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Cher Foys, je ne sais pas déterminer, dans ma petite tête, à qui s'adresse ton avant-dernier message.
  • Je ne suis plus dupe quant à l'enseignement mathématique du collège et du lycée depuis bien longtemps, mais j'ai été surpris d'entendre un de mes collègues raconter qu'il avait eu en colle (de math sup MPSI) une élève qui lui a affirmé clair et fort qu'elle ne comprenait pas le principe de récurrence et qu'elle avait beau avoir appris par coeur ce que son prof voulait qu'elle récite, elle ne voyait pas comment le mettre elle-même en pratique.
    Après vérification, cette même élève a eu 19,7 de moyenne au Bac (et 20 en maths).

    Allez comprendre...
  • Je n'ai jamais compris comment on pouvait ne pas comprendre le raisonnement par récurrence...
  • 1528 a écrit:
    Je n'ai jamais compris comment on pouvait ne pas comprendre le raisonnement par récurrence...

    Je n'ai jamais compris qu'on ne pouvait pas comprendre que quelqu'un ne comprenne pas le raisonnement par récurrence. :-D
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Mon point de vue est simplement celui-ci : quand on m'a exposé le raisonnement (au collège) j'ai immédiatement compris le principe. Je m'en souviens très bien car j'ai été ébloui. Mais j'ai également trouvé cela complètement naturel.

    Peux-tu expliquer ce qui est difficile à comprendre ? Sans troller bêtement sur l'implication ? Je sais, je t'en demande beaucoup.
  • Bonne nuit,

    Je n'ai jamais compris que quelqu'un ne pouvait pas comprendre qu'on ne pouvait pas comprendre que quelqu'un ne comprenne pas le raisonnement par récurrence.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour @1528,

    Le raisonnement par récurrence est faux puisqu'il prétend démontrer une propriété pour tout n entier, qui contient une infinité d'entiers, par pas successifs. On passe d'un entier à l'autre par un pas d'un entier. Mais personne ne sait marcher une infinité de pas.
    La récurrence est donc du foutage de gueule : au plus, on démontre la propriété pour tout entier N fixé à l'avance. On passe de 1 à N successivement ; mais on n'arrive jamais à l'infini.
    Un entier N aussi grand soit-il n'est pas l'infini.

    Ceci est une des difficultés de compréhension de la récurrence. La notion d'infini doit être comprise pour comprendre une récurrence.
  • @YvesM : je n'ai rien compris. Comme tu le dis, "arbitrairement grand" est différent de "infini". Du coup quel est ton problème ? Note que je parle uniquement de mathématiques. Tu contestes la définition de l'ensemble des entiers naturels ?

    @Rescassol : je te comprends parfaitement :-).
  • YM a écrit:
    La notion d'infini doit être comprise pour comprendre une récurrence.
    Non. Ou alors c'est en amont de cela: la notiin d'infini doit être comprise pout quantifier sur tous les entiers naturels (ce qui est contestable).
  • @YvesM,
    Pour un intuitionniste, à la suite de Brouwer, l'infini achevé, actuel, n'existe pas. Seul existe l'infini potentiel, inachevé, parce que pour lui, exister c'est être construit (i.e. produit par une construction finie). Mais il accepte bien sûr le principe de récurrence. Parce que de "0 possède la propriété P et n+1 la possède dès que n la possède", il en déduit que tout n la possède. En effet, pour lui, démontrer cette dernière proposition, c'est montrer qu'étant donné un entier n, il possède la propriété P. Or, donner un entier n, c'est en fournir la construction à partir de 0 avec la fonction "successeur". Et l'on voit bien, à l'aide de l'hypothèse de récurrence, et des yeux intérieurs qui seuls sont dignes de confiance d'après Brouwer, que tel est le cas.

    Bien entendu, je vais être instantanément contredit et démenti par les caciques du forum !
    Bon, je plaisante, après tout ils ne sont pas si méchants que ça, et tolèrent que certains s'expriment en français et non pas en calculs ! :-)
  • Bonjour,

    Je dis que c'est là une difficulté de comprension.

    Une propriété peut être démontrée pour "tout n entier". Soit, admis, accepté.

    Mais, de là à en déduire que cette propriété est démontrée pour $\N$, l'ensemble infini des entiers, il y a "un monde" que certaines personnes ne franchissent pas.

    "pour tout n" veut dire : on me donne un n, fixé, et je sais en déduire que la propriété est démontrée pour ce n. Très bien.

    Mais dire "on peut conclure que la propriété est démontrée pour l'ensemble $\N$", c'est, pour beaucoup de personnes, du foutage de gueule. On n'a pas fait cette démonstration et on ne peut pas conclure ainsi.

    Je ne cherche pas à vous dire si c'est juste ou faux : là n'est pas la discussion. Simplement, voyez-vous le problème de compréhension ?
  • @YvesM

    Je ne comprends toujours pas. Dans le contexte, on démontre une propriété pour tout entier $n$. On ne démontre pas une propriété pour $\N$. Je ne comprends en fait pas ce que tu veux dire par cette dernière expression.

    Si je comprends bien (?) tu ne vois pas de difficulté dans le principe de récurrence mais tu en vois une dans un truc que je ne comprends pas (et qui n'a peut-être tout simplement pas de sens). En bref, c'est n'est toujours pas clair pour moi.
  • YvesM a écrit:
    pour tout n" veut dire : on me donne un n, fixé, et je sais en déduire que la propriété est démontrée pour ce n. Très bien.

    En mathématiques, on n'utilise pas le mot chaque, le mot tout peut vouloir dire, on me donne un n, fixé ou on considère une infinité de nombres en même temps et on affirme/démontre qu'ils possèdent la même propriété.
    Cette ambiguïté n'est pas un problème pour le mathématicien puisqu'il ne la voit plus.

    Sauf, que dans l'expérience quotidienne des choses, on n'est jamais confronté à devoir convoquer une infinité d'objets en même temps. (si on croit qu'il peut exister une infinité d'objets)
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Bonjour,

    Citation 1528 :
    Peux-tu expliquer ce qui est difficile à comprendre ?

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1322290,1322540#msg-1322540

    Bonne journée.
  • Bonjour,

    Wiki : "En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels."

    Des personnes n'arrivent pas à comprendre la partie en gras.
    Démontrer pour un $n$ fixé à l'avance, choisi parmi tous les entiers possibles, soit, accepté, compris.
    Mais pas le fait que la récurrence démontre une propriété pour tous les entiers. C'est faux. Pour tout entier donné : oui, mais pour tous les entiers : ça va pas, faut pas déconner ! C'est évidemment faux.

    Moi j'arrive à concevoir que ceci pose un problème à beaucoup de gens.
  • YvesM a écrit:
    Moi j'arrive à concevoir que ceci pose un problème à beaucoup de gens.

    Moi aussi mais visiblement c'est une difficulté qui ne semble pas être prise en compte par tout le monde. C'est même stupéfiant qu'elle ne soit pas reconnue à mon humble avis. B-)-
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Merci YvesM. J'ai fini par comprendre. Désolé d'avoir été long à la détente :-).

    Pour le matheux, cela fait partie de la définition de $\N$.

    Pour le non matheux, passer à la négation ne suffit-il pas à régler le problème ? La négation étant : il existe un entier pour lequel ça ne marche pas... Mais peut-être que le problème porte alors sur la négation. Je n'ai curieusement jamais enseigné le raisonnement par récurrence, j'y ai pour l'instant échappé !
  • Bonjour 1528.

    Le jour où on essaie d'enseigner la récurrence, on tombe de haut. Cette évidence qu'on atteint tous les entiers à partir de 0 en ajoutant 1 puis recommençant n'est pas si partagée que ça. J'imagine qu'il faut avoir un peu joué avec les nombres entre 4 et 7 ans, vu qu'en comptant 1, 2, 3, ... "ça ne s'arrête pas". pour certains, l'apprentissage des nombres a été trop rapide, comme celui de la lecture pour d'autres (qui n'arrivent pas à lire les énoncés de maths parce qu'ils ne lisent pas couramment) ou de l'écriture cursive pour moi. Ils ont automatisé les opérations sans bien saisir.
    Après, individuellement, on peut dire "c'est vrai pour 0, donc c'est vrai pour 1, c'est vrai pour 1, donc c'est vrai pour 2, c'est vrai pour 2, donc c'est vrai pour 3, ...c'est vrai pour 10, donc c'est vrai pour 11, faut-il que je continue jusqu'à 1000 ou 1000000 ?"
    Pour d'autres, les lettres utilisées (n, P(n)) n'ont pas vraiment de sens, et n+1 n'est pas vu comme le nombre qui suit n. Il y a des tas "d'évidences" de ce type qui bloquent la compréhension d'un élève de collège ou de lycée.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    Même la négation de la démonstration pose un problème : il existe au moins un entier pour le lequel ça ne marche pas. Soit n le plus petit de ces entiers. Donc, en partant de 0 je démontre 1, puis 2, puis j'arrive forcément à n.
    Mais Monsieur, si n est très grand, par exemple le nombre de secondes depuis le Big Bang, même en comptant très vite, vous n'arrivez pas à n, sans compter que l'univers peut avoir disparu d'ici là ?!

    Donc, grâce à la récurrence, on peut supposer que c'est vrai pour tout n, mais on ne peut pas le prouver pour n très grand.

    Au mieux, la récurrence permet de définir des hypothèses vraisemblables. Mais les mathématiciens raisonnent avec des axiomes dont on ne se demande pas s'ils sont vrais ou faux. Et ils décident de prendre comme axiome toute propriété ´´ démontrée ´´ par récurrence ; c'est bien ça Monsieur ?
    Et vous nous avez explique qu'on peut supposer des trucs faux. Donc il se peut que la récurrence soit fausse, même si vous la supposez vraie, c'est ça que vous aviez dit l'autre fois...
  • les mathématiciens raisonnent avec des axiomes dont on ne se demande pas s'ils sont vrais ou faux. Et ils décident de prendre comme axiome toute propriété ´´ démontrée ´´ par récurrence ; c'est bien ça Monsieur ?
    Qu'est-ce que c'est que ce discours à la noix ?
    Le "principe de récurrence" est un axiome (ou un schéma d'axiomes au 1er ordre) de l'arithmétique de Péano. Tout ce qui est démontré par récurrence est donc un théorème de l'arithmetique de Peano.
    Par ailleurs le principe de récurrence est un théorème de ZF.
  • Bonjour,

    La difficulté est qu'on enseigne la récurrence avant l'arithmétique de Peano.
  • Heu ... GaBuZoMeu, tu devrais lire avant de réagir. YvesM cite des paroles de lycéens. Ce n'est pas un texte de mathématicien.

    Et les mathématiciens peuvent se réfugier dans leur tour d'ivoire, la génération prochaine sera a-mathématique. Sauf si tous les matheux s'y mettent, en allant voir, en mettant les mains dans le cambouis. Et encore, ce n'est de ma part qu'une espérance.

    Cordialement.
  • La difficulté est qu'on enseigne la récurrence avant l'arithmétique de Peano.
    Ben non, le principe de récurrence c'est essentiellement l'arithmétique de Peano.
    C'est un axiome, une règle du jeu. (Je ne suppose pas qu'on présente les axiomes de ZF au lycée pour démontrer le principe de récurrence).
    Si on joue le jeu, on joue suivant les règles, qu'on les aime ou pas.
    YvesM cite des paroles de lycéens.
    Là, Gérard, je rigole doucement. Tu crois vraiment que ce sont des vraies paroles de lycéens ?
  • @ GaBuZoMeu.

    Une vraie parole de lycéen, garantie.

    Lequel lycéen se plaint que son prof de maths de TS ne lui pas démontré le principe de récurrence.

    Je lui dit que c'est un principe, ça ne se démontre pas. Lycéen pas content, insiste.

    Je lui explique que c'est du bon sens, c'est comme les dominos, on finit par attraper tous les entiers, faut y mettre du temps mais on y arrive, il peut pas nous éviter. Lycéen pas content, insiste.

    Moi, pas que ça à faire.

    - Tu es d'accord que toute partie de $\N$, j'ai du dire non vide, un renvoi, admet un plus petit élément ?
    Lycéen un peu estomaqué, acquiesce.
    À partir de là je lui déroule la démonstration que tu imagines du principe de récurrence.

    - Comme ça tu es convaincu ?
    - Oh, oui comme ça c'est très clair !

    Bref, j'ai eu en face de moi un (1) lycéen intéressé par le truc, me voila obligé de l'escroquer.

    Du coup, pas fier de moi, j'ai dû lui expliquer que ce que j'avais admis était équivalent au principe de récurrence...

    Mais bon, je répète, des lycéens comme ça, j'en ai vu un (1).

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Très bien ev. Heureusement que ton lycéen ne t'as pas dit "je ne suis pas d'accord, il n'y a pas de plus petit entier non standard".
  • Citation GaBuZoMeu :
    Là, Gérard, je rigole doucement.

    Tu pourrais rigoler fort le résultat resterait le même.

    Ensuite assimiler des axiomes à des règles du jeux pose problème, en effet quel sens donnerais-tu à un ensemble d'axiomes inconsistant ?
  • Ou est le problème ?
  • Merci pour vos commentaires !

    @YvesM @GaBuZoMeu

    J'ai mis du temps à comprendre également que les paroles de YvesM étaient des pastiches de paroles de lycéens. D'où ma surprise au départ.

    @YvesM

    La notion de temps est non pertinente ici. Ce n'est pas un argument qu'entende les élèves ?

    @ev

    Le schéma d'argumentation suivant ne convainquait pas ton lycéen hors-norme ?
    1) Aspect non mathématique : c'est naturel (en espérant que ce le soit).
    2) Aspect mathématique : c'est un axiome (à définir pour le lycéen).
  • 1528 : a écrit:
    1) Aspect non mathématique : c'est naturel (en espérant que ce le soit).

    Il me semble que l'argument heuristique : "On ne peut pas construire une suite strictement décroissante et infinie d'entier" est assez convainquant.

    Bruno
  • Je révise un peu :

    1) on admet l'existence de $\mathbb N$, c'est à dire sa définition, avec des axiomes (Peano).

    2) on peut démontrer le principe de récurrence, en partant de 1) et par l'absurde.

    C'est comme cela qu'on m'avait présenté les choses (années 2000 +/- 2).

    Affirmations du jour :
    a) accepter le principe de récurrence, entraîne l'existence de $\mathbb N$ (la réciproque du 2), quoi...)
    b) en fait il ne s'agit pas de démonstration mais, à l'écriture près, c'est la même chose (Peano et principe de récurrence).
    C'est en ce sens que @ev parle d'escroquerie ?

    Dites-moi tout 8-)
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