nombres égaux à la somme de leurs chiffres

jeremyjeff · June 2016

Bonsoir,

Je cherche une démonstration à ce problème.

Trouver tous les nombres égaux à la somme de leurs chiffres, chacun d'eux étant élevé à la puissance de son rang.
J'ai trouvé :

2 427 = 2 + 4^2 + 2^3 + 7^4
89 = 8 + 9^2
175 = 1 + 7^2 + 5^3
et 2 646 798

Mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'en existe pas d'autres.

Y a -t-il une démonstration à ce problème ?
Si oui avec quelle notion ?

Merci

Cidrolin · June 2016

Voir https://oeis.org/A032799

jeremyjeff · June 2016

Bonjour,

Merci pour le lien.

J'ai facilement programmé la recherche des nombres résultats en Javascript.
En terme de démonstrations par contre, cela ne m'aide pas trop.

Question ouverte:
Y-a-t-il une démonstration ?

Merci, cordialement, JeremyJeff

vquesnoit · July 2016

On peut trouver rapidement une limite supérieure au nombre de chiffres des nombres solutions. Pour qu'un nombre de n chiffres soit solution il faut que somme(9^i) pour i de 1 à n soit plus grand que 10^(n-1).
La somme des puissances 1 à n de 9 est : (9^(n+1)/(9-1))-1
Donc : (9^(n+1)/(9-1))-1>10^(n-1)
Si on considère que 1 est très petit devant 9^n pour n grand, on peut prendre les logarithmes des deux membres:
(n+1)*log(9)-log(8)>(n-1)*log(10)
log(9)-log(8)+log(10>n*(log(10)-log(9)
(log(9)+log(10)-log(8))/((log(10)-log(9))>n
n<22.9
donc le plus grand nombre possible a 22 chiffres. Si ton script a exploré toutes les solutions jusqu'à 22 chiffres, la preuve est faite.

jeremyjeff · July 2016

Bonjour

Merci

J'avais déjà cette "démonstration ". Je cherchais quelque chose de plus élégant, sans utiliser l'outil informatique:
Une solution purement arithmétique.

Tout n'est pas démontrable. je dois m'y résigner :-S

Merci encore

nombres égaux à la somme de leurs chiffres

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Bonjour!

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