Théorème des accroissements finis et Riesz
Bonjour,
J'ai une fonction continue et convexe $\phi:[0,\infty)\longrightarrow [0,\infty)$ , et $g$ une fonction positive 1-homogène, $f$ une fonction a support compacte, toutes les deux definies sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Je veux montrer que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx=\int_{S^{n-1}} \psi(g(u)) dS(f,u)$, où $\psi$ ne dépend pas de $f$.
Malheureusement Voici ce que j'obtiens. En passant aux coordonnées polaires et en appliquant le Théorème des accroissement
$$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx = \displaystyle\int_{\text{support}(f)} \phi(g(-\nabla f(x))) dx =
\displaystyle\int_{S^{n-1}} \int_0^{R_f} \phi(g(r\cdot u)) r^{n-1}dr du = \displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(g(c_f \cdot u)) c_f^{n-1} R_f du.$$
Donc j'obtiens $$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx= \displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(c_f\cdot g(u)) c_f^{n-1} R_f du =\displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f( g(u)) c_f^{n-1} R_f du$$
où $\psi_f(x)=\phi(c_f \cdot x)$.
En appliquant Riesz sur l'application linéaire $\psi_f\circ g\mapsto \displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f( g(u)) c_f^{n-1} R_f du $, ca me donne l’existence d'une mesure $S_\phi(f,\cdot)$ sur $S^{n-1}$ telle
$$ \displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f( g(u)) c_f^{n-1} R_f du = \displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f(g(u))dS_\phi(f,u) . $$
Surjections?
J'ai une fonction continue et convexe $\phi:[0,\infty)\longrightarrow [0,\infty)$ , et $g$ une fonction positive 1-homogène, $f$ une fonction a support compacte, toutes les deux definies sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Je veux montrer que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx=\int_{S^{n-1}} \psi(g(u)) dS(f,u)$, où $\psi$ ne dépend pas de $f$.
Malheureusement Voici ce que j'obtiens. En passant aux coordonnées polaires et en appliquant le Théorème des accroissement
$$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx = \displaystyle\int_{\text{support}(f)} \phi(g(-\nabla f(x))) dx =
\displaystyle\int_{S^{n-1}} \int_0^{R_f} \phi(g(r\cdot u)) r^{n-1}dr du = \displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(g(c_f \cdot u)) c_f^{n-1} R_f du.$$
Donc j'obtiens $$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx= \displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(c_f\cdot g(u)) c_f^{n-1} R_f du =\displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f( g(u)) c_f^{n-1} R_f du$$
où $\psi_f(x)=\phi(c_f \cdot x)$.
En appliquant Riesz sur l'application linéaire $\psi_f\circ g\mapsto \displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f( g(u)) c_f^{n-1} R_f du $, ca me donne l’existence d'une mesure $S_\phi(f,\cdot)$ sur $S^{n-1}$ telle
$$ \displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f( g(u)) c_f^{n-1} R_f du = \displaystyle\int_{S^{n-1}} \psi_f(g(u))dS_\phi(f,u) . $$
Surjections?
Réponses
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Bonsoir une idée peut etre tu n'as pas utiliser le fait que $\phi $ est convexe i.e si je ne me trompe pas tu peux faire sortir $c_f$ de $\phi$ avec une inégalité ($\ge$)..
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A moins qu'on ne sache si $c_f\ge 1$ ou $c_f\le 1$, on ne peux la faire sortir.
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$f(a+b)\ge f(a)+f(b)$ pour fonction convexe de ${\mathbb{R}}^-$ dans ${\mathbb{R}}^-$ et $f(a+b)\le f(a)+f(b)$ pour concave non?
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Tonm écrivait:
> $f(a+b)\ge f(a)+f(b)$ pour fonction convexe
Ah ! Donc $\frac1{a+b}\ge \frac1a+\frac1b$ ! C'est bon à savoir pour $a=b=1$ par exemple. -
Comme Remarque l'a déjà signalé, c'est pas vrai. J'ai décider de changer de variable des le début pour voir ce que ça donne. Peut être que ça me permettra de ne plus avoir $f$ dans l’intégral (Je sais que remarque a déjà dit que c'est impossible. :)o )
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Seulement l'inégalité pour convexe marche si on choisie les x négatif (a et b négatif) et f à valeur négatif, le cas inégalité concave vrai si f de $R^+$ dans $R^+$
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Tsss, ne t'enfonce pas !
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Vous avez des ctre exemples pour ces deux. Si je me trouble pas. Si on avait phi concave on aurait du sortir le $c_f$ avec une inégalité
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Euuuuuh... Tonm.
On peut trouver certains contre-exemples à certaines propriétés mathématiques.
Pas à
Comme un vol de gerfauts hors du charnier natal,
Fatigués de porter leurs misères hautaines,
De Palos de Moguer, routiers et capitaines
Partaient, ivres d'un rêve héroïque et brutal.
Ou à
Il y en a un peu plus, je vous le mets Madame Jules ?
par exemple.
Maintenant si tu as envie d'écrire une propriété mathématique, peut-être sera-t-il possible d'accéder à tes desiderata.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonjour,
Etant obliger d'ajouter une condition sur $f$, voici ce que j'obtiens. Qu'en pensez-vous.
Désormais on assume tu $f$ est concave. Je veux montrer que $$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx=\int_{S^{n-1}} \psi(g(u)) dS_\phi(f,u)$$
avec $dS_\phi(f,u)$ une mesure de Borel sur la sphère unité.
Je pose $y=-\nabla f$ et alors $dy= H(f(x))dx>0$, $H$ étant le Hessien. Donc $dx=(H(f(\nabla f)^{-1}(y))))^{-1}dy$.
Comme $f$ a un support compacte et est concave, il existe $T(u)$ tel que en coordonnées polaires $y=ru<T(u)$ et
$$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx= \int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(y))(H(f((\nabla f)^{-1}(r\cdot u)))^{-1}dy
=\int_{S^{n-1}}\int_0^{T(u)} \phi(g(r\cdot u))r^{n-1}(H(f((\nabla f)^{-1}(r\cdot u))))^{-1}dr du$$
Par le Théorème des accroissement finis, on a l'existence d'un $c_u$ dans $[0,T(u)]$ tel que
$$\displaystyle\int_{S^{n-1}}\int_0^{T(u)} \phi(g(r\cdot u))r^{n-1}(H(f(\nabla f)^{-1}(r \cdot u))))^{-1}dr du=\displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(g(c_u \cdot u)c_u^{n-1}(H(f(\nabla f)^{-1}(c_u \cdot u))))^{-1}T(u) du$$
En utilisant l’homogénéité de $g$ on obtient
$$\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} \phi(g(-\nabla f(x))) dx =\displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(c_u\cdot g(u))c_u^{n-1}(H(f(\nabla f)^{-1}(c_u \cdot u))))^{-1}T(u) du$$
On applique Riesz sur $ \phi\circ g\longmapsto \displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(c_u \cdot g(u))$ pour obtenir l'existence de $dS_\phi(f,\cdot) $ tel que
$$\displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(c_u\cdot g(u))c_u^{n-1}(H(f(\nabla f)^{-1}(c_u \cdot u))))^{-1}T(u) du= \displaystyle\int_{S^{n-1}} \phi(c_u\cdot g(u))dS_\phi(f,u) du.$$
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